Seja n um inteiro positivo cuja expressão na base b=10 é dada por
n=a_{k} \cdot b^{k}+a_{k-1} \cdot b^{k-1}+a_{k-2} \cdot b^{k-2}+\cdots+a_{2} \cdot b^{2}+a_{1} \cdot b+a_{0}
onde os algarismos a_{k}, a_{k-1}, a_{k-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} \in\{0,1,2,3, \ldots, 9\}. Mostre que:
9 \mid n se e somente se, 9 \mid\left(a_{k}+a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots+a_{2}+a_{1}+a_{0}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
n = a_{k} \cdot 10^{k} + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \cdots + a_{1} \cdot 10 + a_{0},
temos 9\mid n se e somente se
9 \mid \bigl(a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{1}+a_{0}\bigr).
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, em particular a propriedade de que 10\equiv1\pmod{9}.

Passo 2

Observamos que, como 10\equiv1\pmod{9}, para todo inteiro i\ge0 vale
10^{i}\equiv1^{i}\equiv1\pmod{9}.

Passo 3

Aplicando módulo 9 à expressão de n, obtemos
n = \sum_{i=0}^{k} a_{i}\,10^{i} \quad\Longrightarrow\quad n \equiv \sum_{i=0}^{k} a_{i}\cdot(10^{i}\bmod9) \equiv \sum_{i=0}^{k} a_{i}\cdot1 = \sum_{i=0}^{k} a_{i} \pmod{9}.
Isto mostra que
n \equiv a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{0} \pmod{9}.

Passo 4

Da congruência acima segue imediatamente que 9\mid n se e somente se
9 \mid \bigl(a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{0}\bigr).

Resposta

Fica provado que 9\mid n exatamente quando 9\mid(a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{1}+a_{0}).

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