Determine todos os inteiros x tais que 12 \mid(3 x+6).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros x tais que 12 divide 3x+6. Vamos usar teoria de divisibilidade e resolução de congruências modulares para chegar à forma geral de x.

Passo 2

A condição 12\mid(3x+6) equivale à congruência
3x+6\equiv0\pmod{12}.
Subtraindo 6 de ambos os lados obtemos
3x\equiv -6\pmod{12},
e como -6\equiv6\pmod{12}, isso é o mesmo que
3x\equiv6\pmod{12}.

Passo 3

Para simplificar a congruência, notamos que \gcd(3,12)=3 e 3 divide 6, então podemos dividir tudo por 3, reduzindo o módulo de 12 para 12/3=4. Assim,
x\equiv2\pmod{4}.
Isso significa que x é de forma x=4k+2, onde k é qualquer inteiro.

Resposta

Todos os inteiros da forma x=4k+2, com k\in\mathbb{Z}.

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