Encontre 3 inteiros que são mutuamente relativamente primos, mas quaisquer dois deles não são relativamente primos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três inteiros a, b e c tais que \gcd(a,b,c)=1, mas para todo par entre eles tenhamos \gcd estritamente maior que 1. O conteúdo envolve máximo divisor comum em teoria dos números.

Passo 2

Para construir esse tipo de exemplo, escolhemos três números primos distintos p, q e r e definimos
a = p\,q,\quad b = p\,r,\quad c = q\,r.
Nesse caso \gcd(a,b)=p, \gcd(a,c)=q e \gcd(b,c)=r, todas maiores que 1. Como não há um mesmo primo em todos os três produtos, temos \gcd(a,b,c)=1.

Passo 3

Tomando como exemplo p=2, q=3 e r=5, obtemos
a = 2\cdot3 = 6,\quad b = 2\cdot5 = 10,\quad c = 3\cdot5 = 15.

Passo 4

Verificamos
\gcd(6,10)=2,\quad \gcd(6,15)=3,\quad \gcd(10,15)=5,
todas maiores que 1, e também
\gcd(6,10,15)=1.

Resposta

6,\;10,\;15

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