Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2018).
.
(B2-2018).
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações e condições dadas (importantes antes de manipular a equação):
- A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa:
- Além disso, o lado esquerdo contém
, que é sempre . Reescrevendo a equação isolando a raiz teremos , e isso exige , ou seja . - Combinando as duas condições, qualquer solução real deve satisfazer
Passo 2
Isolamos a raiz somando
aos dois lados:
Observação importante (didática): ao obter uma igualdade envolvendo uma raiz, o próximo passo comum é elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Mas atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas (que não satisfazem a equação original), portanto é obrigatório conferir as soluções obtidas no final.
Passo 3
Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Expandimos e simplificamos o lado direito:
Logo a igualdade vira
Subtraindo
dos dois lados (ou reorganizando os termos) obtemos
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática simples:
Temos duas raízes candidatas:
e
. Agora aplicamos a condição de domínio
e verificamos explicitamente (como combinado no Passo 2) para descartar possíveis soluções extranhas.
Passo 6
Comparando com a condição
:
-
, então é um candidato válido. -
, portanto já viola a condição e não pode ser solução da equação original.
Passo 7
Verificação direta (para consolidar e ensinar um truque útil):
Calculemos a expressão original para :
Calculemos a expressão original para
Note que
. Assim
(sinal positivo, pois a raiz principal é não negativa). Portanto
o que confirma que
satisfaz a equação original. Para
a verificação dá um valor diferente de
, confirmando que é extranho.