Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2018). \sqrt{3+2 x}-x=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação
\sqrt{3+2x}-x=1.
Informações e condições dadas (importantes antes de manipular a equação):
  • A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa: \;3+2x\ge 0\;\Rightarrow\;x\ge -\tfrac{3}{2}.
  • Além disso, o lado esquerdo contém \sqrt{3+2x}, que é sempre \ge 0. Reescrevendo a equação isolando a raiz teremos \sqrt{3+2x}=x+1, e isso exige x+1\ge 0, ou seja x\ge -1.
  • Combinando as duas condições, qualquer solução real deve satisfazer \;x\ge -1.

Passo 2

Isolamos a raiz somando x aos dois lados:
\sqrt{3+2x}=x+1.
Observação importante (didática): ao obter uma igualdade envolvendo uma raiz, o próximo passo comum é elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz. Mas atenção: elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas (que não satisfazem a equação original), portanto é obrigatório conferir as soluções obtidas no final.

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado:
3+2x=(x+1)^2.

Passo 4

Expandimos e simplificamos o lado direito:
(x+1)^2 = x^2+2x+1.
Logo a igualdade vira
3+2x = x^2+2x+1.
Subtraindo 3+2x dos dois lados (ou reorganizando os termos) obtemos
0 = x^2+2x+1 - (3+2x) = x^2 - 2.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática simples:
x^2-2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Temos duas raízes candidatas: x=\sqrt{2} e x=-\sqrt{2}. Agora aplicamos a condição de domínio x\ge -1 e verificamos explicitamente (como combinado no Passo 2) para descartar possíveis soluções extranhas.

Passo 6

Comparando com a condição x\ge -1:
  • \sqrt{2}\approx1{,}414\ge -1, então x=\sqrt{2} é um candidato válido.
  • -\sqrt{2}\approx-1{,}414< -1, portanto x=-\sqrt{2} já viola a condição x\ge -1 e não pode ser solução da equação original.

Passo 7

Verificação direta (para consolidar e ensinar um truque útil):
Calculemos a expressão original para x=\sqrt{2}:
\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}.
Note que (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}. Assim
\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1
(sinal positivo, pois a raiz principal é não negativa). Portanto
\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)-\sqrt{2}=1,
o que confirma que x=\sqrt{2} satisfaz a equação original. Para x=-\sqrt{2} a verificação dá um valor diferente de 1, confirmando que é extranho.

Resposta

x=\sqrt{2}

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