Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2019). \sqrt{1+x}=x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação
\sqrt{1+x}=x.
Informações importantes dadas pela equação:
  • A expressão \sqrt{1+x} exige que 1+x\ge 0.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} retorna um valor não negativo (ou seja, \sqrt{1+x}\ge 0).

Passo 2

Extrai-se das informações do Passo 1 as restrições iniciais sobre x:
  • Da condição 1+x\ge 0 segue x\ge -1.
  • Como \sqrt{1+x}\ge 0 e a equação exige que isso seja igual a x, então x também deve ser não negativo: x\ge 0.
    Combinando, a restrição válida para candidatos a solução é
x\ge 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação. Como para os candidatos temos x\ge0 (ambos os lados não negativos), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal. Elevando ao quadrado:
(\sqrt{1+x})^2 = x^2 \quad\Rightarrow\quad 1+x = x^2.

Passo 4

Reescrevendo como uma equação quadrática padrão:
x^2 - x - 1 = 0.
Usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes. Para a equação \,ax^2+bx+c=0 a fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-1, c=-1. Calculando o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 1+4 = 5.
Portanto as soluções da quadrática são
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Aplicamos a restrição x\ge0 do Passo 2 às duas raízes:
  • \displaystyle x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}. Este valor é positivo (aproximadamente 1,618), logo é compatível com x\ge0.
  • \displaystyle x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}. Este valor é negativo (aproximadamente -0,618), logo não satisfaz x\ge0 e deve ser descartado como solução da equação original (foi introduzido pela operação de elevar ao quadrado).

Passo 6

Verificação final do candidato positivo: como x_1 satisfaz a quadrática x^2-x-1=0, temos x_1^2 = x_1+1. Então
\sqrt{1+x_1} = \sqrt{x_1^2} = |x_1| = x_1,
porque x_1\ge0. Isso mostra que \displaystyle x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2} satisfaz de fato a equação original.

Resposta

\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}

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