Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2019). |x-2|+2|x-3|=4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números reais x que satisfazem a equação
|x-2|+2|x-3|=4.
Informações dadas e observações úteis:
  • A expressão contém valores absolutos de x-2 e x-3.
  • Os pontos que anulam as expressões dentro dos módulos são x=2 e x=3. Esses pontos dividem a reta em intervalos onde os sinais das expressões mudam.
    A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a equação.

Passo 2

Como lidar com valor absoluto: para qualquer número real a\), \[|a|= \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aqui a\] será \(x-2 ou x-3. Portanto devemos analisar separadamente os intervalos determinados por x=2 e x=3. Esses intervalos são:
  • x<2,
  • 2\le x<3,
  • x\ge 3.
    Em cada intervalo substituímos os módulos por suas expressões sem módulo (com o sinal correto) e resolvemos a equação linear resultante.]

Passo 3

Caso x<2. Então x-2<0 e x-3<0, logo
|x-2|=-(x-2)=2-x,\qquad |x-3|=-(x-3)=3-x.
Substituindo na equação:
(2-x)+2(3-x)=4.
Resolvendo passo a passo:
2-x+6-2x=4,
8-3x=4,
-3x=-4,
x=\frac{4}{3}.
Verificação do intervalo: \dfrac{4}{3}\approx1{,}333 e realmente \dfrac{4}{3}<2, portanto x=\dfrac{4}{3} é solução válida neste caso.

Passo 4

Caso 2\le x<3. Aqui x-2\ge0 e x-3<0, então
|x-2|=x-2,\qquad |x-3|=3-x.
A equação vira:
(x-2)+2(3-x)=4.
Resolvendo:
x-2+6-2x=4,
4-x=4,
-x=0,
x=0.
Mas x=0 não satisfaz 2\le x<3. Logo neste intervalo não há solução.

Passo 5

Caso x\ge 3. Agora x-2\ge0 e x-3\ge0, então
|x-2|=x-2,\qquad |x-3|=x-3.
Substituindo:
(x-2)+2(x-3)=4.
Resolvendo:
x-2+2x-6=4,
3x-8=4,
3x=12,
x=4.
Verificação do intervalo: 4\ge3, logo x=4 é solução válida.

Passo 6

Verificação direta nas duas soluções encontradas:
  • Para x=\dfrac{4}{3}:
\left|\frac{4}{3}-2\right|+2\left|\frac{4}{3}-3\right| = \left|\!-\frac{2}{3}\right| + 2\left|\!-\frac{5}{3}\right| = \frac{2}{3} + 2\cdot\frac{5}{3} = \frac{2}{3} + \frac{10}{3} = \frac{12}{3}=4.
  • Para x=4:
|4-2|+2|4-3| = 2 + 2\cdot1 = 4.
Ambos verificam a equação, portanto são soluções corretas.

Passo 7

Resumo e dica para prova: sempre que aparecer soma de módulos, identifique os pontos que anulam cada expressão interna ao módulo, divida a reta nesses intervalos e resolva a equação em cada caso. Lembre-se de checar se a solução encontrada pertence ao intervalo considerado — é um passo que muita gente esquece sob pressão. Força aí — já era meio caminho andado!

Resposta

\dfrac{4}{3}
4

Exercícios relacionados