Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(B2-2019).
.
(B2-2019).
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas e observações úteis:
- A expressão contém valores absolutos de
e . - Os pontos que anulam as expressões dentro dos módulos são
e . Esses pontos dividem a reta em intervalos onde os sinais das expressões mudam.
A tarefa é encontrar todos osque tornam verdadeira a equação.
Passo 2
Como lidar com valor absoluto: para qualquer número real
Aqui
ou
. Portanto devemos analisar separadamente os intervalos determinados por
e
. Esses intervalos são:
-
, -
, -
.
Em cada intervalo substituímos os módulos por suas expressões sem módulo (com o sinal correto) e resolvemos a equação linear resultante.]
Passo 3
Caso
. Então
e
, logo
Substituindo na equação:
Resolvendo passo a passo:
Verificação do intervalo:
e realmente
, portanto
é solução válida neste caso.
Passo 4
Caso
. Aqui
e
, então
A equação vira:
Resolvendo:
Mas
não satisfaz
. Logo neste intervalo não há solução.
Passo 5
Caso
. Agora
e
, então
Substituindo:
Resolvendo:
Verificação do intervalo:
, logo
é solução válida.
Passo 6
Verificação direta nas duas soluções encontradas:
- Para
:
- Para
:
Ambos verificam a equação, portanto são soluções corretas.
Passo 7
Resumo e dica para prova: sempre que aparecer soma de módulos, identifique os pontos que anulam cada expressão interna ao módulo, divida a reta nesses intervalos e resolva a equação em cada caso. Lembre-se de checar se a solução encontrada pertence ao intervalo considerado — é um passo que muita gente esquece sob pressão. Força aí — já era meio caminho andado!