Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números reais que satisfazem a equação
Informações dadas (condições que vêm dos radicais):
- Para
estar definida é necessário , isto é . - Para
estar definida é necessário , isto é . - Para
estar definida é necessário , isto é .
Conjunto domínio (interseção de todas as condições):
.
Objetivo: dentro de
achar todos
que tornam verdadeira a equação.
Passo 2
Estratégia e observações didáticas sobre o método de resolução:
- Temos radicais dos dois lados; uma técnica padrão é isolar um lado (aqui já está isolado) e elevar ao quadrado para eliminar radicais, tomando cuidado com raízes extranhas que podem aparecer ao elevar ao quadrado.
- Lembrete de fórmula útil: para quaisquer
reais vale . - Vou elevar ambos os lados ao quadrado, sabendo que depois preciso verificar as soluções encontradas no contexto do domínio e das igualdades originais.
Passo 3
Elevar ambos os lados ao quadrado e simplificar. Usando a fórmula do quadrado da soma, tem-se
Isso dá
Somando os termos não-radicais do lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Interpretação imediata da igualdade do Passo 3: o lado direito é
, que é sempre
. Portanto o lado esquerdo deve ser
. Logo
Portanto qualquer solução candidata precisa satisfazer tanto
(domínio inicial) quanto
; ou seja, necessariamente
.
Passo 5
Agora que sabemos
, podemos elevar novamente ao quadrado a igualdade do Passo 3 para eliminar o radical remanescente. Elevando
ao quadrado:
Expandindo e simplificando:
Passando todos os termos para um lado:
Logo
Portanto as soluções da equação quadrática (após as duas quadraturas) são
Passo 6
Aplicar as restrições encontradas (verificação/eliminação de extranos):
- Do Passo 4 já sabemos que qualquer solução precisa satisfazer
. - Os valores obtidos em Passo 5 são
(aprox. ) e (aprox. ). Nenhum deles é . - Portanto nenhum dos candidatos satisfaz a condição necessária
. Assim não há soluções reais que satisfaçam simultaneamente a equação original e as restrições dos radicais.
Para ter certeza final, pode-se testar um valor como
apenas por curiosidade:
confirmando que nem
resolve a equação.
Resposta
Não existe nenhum número real que satisfaça a equação.