Determine todos os números reais que satisfazem cada uma das seguintes equações.
(\mathrm{B} 2-2021) \cdot \sqrt{3 x-9}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números reais que satisfazem a equação
\sqrt{3x-9}=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}.
Informações dadas (condições que vêm dos radicais):
  • Para \sqrt{3x-9} estar definida é necessário 3x-9\ge0, isto é \,x\ge3.
  • Para \sqrt{x-1} estar definida é necessário x-1\ge0, isto é \,x\ge1.
  • Para \sqrt{x-2} estar definida é necessário x-2\ge0, isto é \,x\ge2.
Conjunto domínio (interseção de todas as condições): \,x\ge3.
Objetivo: dentro de \,x\ge3 achar todos x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a equação.

Passo 2

Estratégia e observações didáticas sobre o método de resolução:
  • Temos radicais dos dois lados; uma técnica padrão é isolar um lado (aqui já está isolado) e elevar ao quadrado para eliminar radicais, tomando cuidado com raízes extranhas que podem aparecer ao elevar ao quadrado.
  • Lembrete de fórmula útil: para quaisquer a,b reais vale (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
  • Vou elevar ambos os lados ao quadrado, sabendo que depois preciso verificar as soluções encontradas no contexto do domínio e das igualdades originais.

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado e simplificar. Usando a fórmula do quadrado da soma, tem-se
\big(\sqrt{3x-9}\big)^2=\big(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}\big)^2.
Isso dá
3x-9=(x-1)+(x-2)+2\sqrt{(x-1)(x-2)}.
Somando os termos não-radicais do lado direito:
3x-9=2x-3+2\sqrt{x^2-3x+2}.
Subtraindo 2x-3 de ambos os lados:
x-6=2\sqrt{x^2-3x+2}.

Passo 4

Interpretação imediata da igualdade do Passo 3: o lado direito é 2\sqrt{x^2-3x+2}, que é sempre \ge0. Portanto o lado esquerdo deve ser \ge0. Logo
x-6\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge6.
Portanto qualquer solução candidata precisa satisfazer tanto x\ge3 (domínio inicial) quanto x\ge6; ou seja, necessariamente x\ge6.

Passo 5

Agora que sabemos x\ge6, podemos elevar novamente ao quadrado a igualdade do Passo 3 para eliminar o radical remanescente. Elevando \;x-6=2\sqrt{x^2-3x+2}\; ao quadrado:
(x-6)^2 = 4(x^2-3x+2).
Expandindo e simplificando:
x^2-12x+36 = 4x^2-12x+8.
Passando todos os termos para um lado:
0 = 4x^2-12x+8 - (x^2-12x+36) = 3x^2-28.
Logo
3x^2-28=0\quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{28}{3}.
Portanto as soluções da equação quadrática (após as duas quadraturas) são
x=\pm\sqrt{\frac{28}{3}}=\pm\frac{2\sqrt{21}}{3}.

Passo 6

Aplicar as restrições encontradas (verificação/eliminação de extranos):
  • Do Passo 4 já sabemos que qualquer solução precisa satisfazer x\ge6.
  • Os valores obtidos em Passo 5 são x=\frac{2\sqrt{21}}{3} (aprox. 3{,}055) e x=-\frac{2\sqrt{21}}{3} (aprox. -3{,}055). Nenhum deles é \ge6.
  • Portanto nenhum dos candidatos satisfaz a condição necessária x\ge6. Assim não há soluções reais que satisfaçam simultaneamente a equação original e as restrições dos radicais.
Para ter certeza final, pode-se testar um valor como x=6 apenas por curiosidade:
\sqrt{3\cdot6-9}=\sqrt{9}=3,\qquad \sqrt{6-1}+\sqrt{6-2}=\sqrt5+2\approx4{,}236\neq3,
confirmando que nem x=6 resolve a equação.

Resposta

Não existe nenhum número real que satisfaça a equação.

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