Determine todos os polinômios de grau 1 do anel Z3[x].

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os polinômios de grau 1 no anel Z3[x]. Aqui vamos usar que em Z3 os coeficientes só podem ser 0,1 ou 2 (onde 2 equivale a -1 módulo 3) e que um polinômio tem grau 1 quando o coeficiente de x é não nulo.

Passo 2

Em Z3[x], um polinômio genérico de grau até 1 é
ax + b,
com a,bin0,1,2. O grau é exatamente 1 se, e só se, aneq 0 em Z3.

Passo 3

Como queremos grau 1, devemos ter
ain1,2 e bin0,1,2
2 opções para a e 3 opções para b, totalizando 2times3=6 polinômios.

Passo 4

Listando todas as combinações de (a,b), obtemos estes polinômios de grau 1 em Z3[x]:
x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2

Resposta

x,;x+1,;x+2,;2x,;2x+1,;2x+2

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