Verifique se cada subconjunto abaixo é subanel de mathbbZ[x] :
(b) $B=\left{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \in \mathbb{Z}[x] ; 3 a_{0}=0\right}).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o subconjunto B = a0 + a1x + cdots + anx^n in Z[x] ; 3a0 = 0 é um subanel de Z[x] . Aqui, estamos trabalhando com teoria dos anéis, especificamente com subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se B satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Z[x] . Esse é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros. Ou seja, qualquer polinômio da forma a0 + a1x + cdots + anx^n onde cada ai é um número inteiro.
O subconjunto B contém todos esses polinômios onde o coeficiente constante a0 satisfaz 3a0 = 0 . Na matemática dos inteiros, isso significa que a0 tem que ser zero, porque 3 vezes qualquer inteiro diferente de zero não é zero. Assim, B é o conjunto de todos os polinômios em Z[x] com termo constante igual a zero.

Passo 3

Para B ser um subanel de Z[x] , precisamos verificar três coisas:
  1. Elemento nulo: B deve conter o elemento zero.
  2. Fechado sob adição: Se dois polinômios estão em B , a soma deles também deve estar em B .
  3. Fechado sob multiplicação: Se dois polinômios estão em B , o produto deles também deve estar em B .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

1. Elemento nulo:
O elemento zero em Z[x] é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja, 0 + 0x + 0x^2 + cdots . O coeficiente constante aqui é zero, então 3 cdot 0 = 0 satisfaz a condição para pertencer a B . Logo, B contém o elemento zero.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em B :
P(x) = a0 + a1x + cdots + anx^n
Q(x) = b0 + b1x + cdots + bmx^m
Como estão em B , sabemos que 3a0 = 0 e 3b0 = 0 , o que implica que a0 = 0 e b0 = 0 .
Agora, somando P(x) e Q(x) :
P(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + cdots
Como a0 = 0 e b0 = 0 , o termo constante da soma é 0 + 0 = 0 . Portanto, 3 cdot 0 = 0 , e a soma também está em B .
3. Fechado sob multiplicação:
Agora, multiplicando P(x) e Q(x) :
P(x) cdot Q(x) = (a0 + a1x + cdots)(b0 + b1x + cdots)
O termo constante do produto será a0 cdot b0 . Como a0 = 0 e b0 = 0 , temos 0 cdot 0 = 0 . Logo, 3 cdot 0 = 0 , e o produto também está em B .

Resposta

Sim, o subconjunto B é um subanel de Z[x] , pois contém o elemento zero e é fechado tanto para adição quanto para multiplicação.

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