Verifique se cada subconjunto abaixo é subanel de
:
(b) $B=\left{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \in \mathbb{Z}[x] ; 3 a_{0}=0\right}).
(b) $B=\left{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \in \mathbb{Z}[x] ; 3 a_{0}=0\right}).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subanel de
. Aqui, estamos trabalhando com teoria dos anéis, especificamente com subanéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subanel e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros. Ou seja, qualquer polinômio da forma
onde cada
é um número inteiro.
O subconjunto
contém todos esses polinômios onde o coeficiente constante
satisfaz
. Na matemática dos inteiros, isso significa que
tem que ser zero, porque 3 vezes qualquer inteiro diferente de zero não é zero. Assim,
é o conjunto de todos os polinômios em
com termo constante igual a zero.
Passo 3
Para
ser um subanel de
, precisamos verificar três coisas:
- Elemento nulo:
deve conter o elemento zero. - Fechado sob adição: Se dois polinômios estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação: Se dois polinômios estão em
, o produto deles também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 4
1. Elemento nulo:
O elemento zero em
é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja,
. O coeficiente constante aqui é zero, então
satisfaz a condição para pertencer a
. Logo,
contém o elemento zero.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
Como estão em
, sabemos que
e
, o que implica que
e
.
Agora, somando
e
:
Como
e
, o termo constante da soma é
. Portanto,
, e a soma também está em
.
3. Fechado sob multiplicação:
Agora, multiplicando
e
:
O termo constante do produto será
. Como
e
, temos
. Logo,
, e o produto também está em
.
Resposta
Sim, o subconjunto
é um subanel de
, pois contém o elemento zero e é fechado tanto para adição quanto para multiplicação.