Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Considere V=R^4 e S=[(-1,2,-2,3),(7,-5,4,-2),(3,5,9,-1),(1,-39,-33,-5)] encontre uma base para S.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos
Estamos trabalhando com a teoria de espaços vetoriais e temos um conjunto S composto por quatro vetores no espaço V = R^4 :
S = (-1, 2, -2, 3), (7, -5, 4, -2), (3, 5, 9, -1), (1, -39, -33, -5)
Nosso objetivo é encontrar uma base para S . Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço S . Para isso, vamos precisar entender conceitos como independência linear, rank de uma matriz e redução de matrizes.

Passo 2

Organizando os Vetores em uma Matriz
Primeiro, vamos organizar os vetores de S em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = -1 & 7 & 3 & 1 2 & -5 & 5 & -39 -2 & 4 & 9 & -33 3 & -2 & -1 & -5
Nosso objetivo é determinar quais colunas dessa matriz são linearmente independentes.

Passo 3

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma onde possamos identificar as colunas pivôs (aqueles que correspondem a vetores independentes).
  1. Primeiro Pivot (Linha 1, Coluna 1):
-1 & 7 & 3 & 1 2 & -5 & 5 & -39 -2 & 4 & 9 & -33 3 & -2 & -1 & -5
Multiplicamos a primeira linha por -1:
1 & -7 & -3 & -1 2 & -5 & 5 & -39 -2 & 4 & 9 & -33 3 & -2 & -1 & -5
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda, adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira e subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta:
1 & -7 & -3 & -1 0 & 9 & 11 & -37 0 & -10 & 3 & -35 0 & 19 & 8 & -2
  1. Segundo Pivot (Linha 2, Coluna 2):
    Dividimos a segunda linha por 9:
1 & -7 & -3 & -1 0 & 1 & 119 & -379 0 & -10 & 3 & -35 0 & 19 & 8 & -2
Usamos a segunda linha para eliminar os valores abaixo e acima dela na segunda coluna:
  • Adicionamos 10 vezes a segunda linha à terceira.
  • Subtraímos 19 vezes a segunda linha da quarta.
  • Adicionamos 7 vezes a segunda linha à primeira.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0 & 209 & -409 0 & 1 & 119 & -379 0 & 0 & 1439 & -6259 0 & 0 & -1139 & 6939
  1. Terceiro Pivot (Linha 3, Coluna 3):
    Multiplicamos a terceira linha por 9143 :
1 & 0 & 209 & -409 0 & 1 & 119 & -379 0 & 0 & 1 & -625143 0 & 0 & -1139 & 6939
Agora, usamos a terceira linha para eliminar os demais valores na terceira coluna:
  • Subtraímos 209 vezes a terceira linha da primeira.
  • Subtraímos 119 vezes a terceira linha da segunda.
  • Adicionamos 1139 vezes a terceira linha à quarta.
Após essas operações, a matriz ficará na forma escalonada reduzida, identificando os pivôs.

Resposta

Após a redução da matriz, identificamos que as três primeiras colunas correspondem a vetores linearmente independentes. Portanto, uma base para S é formada pelos vetores:
, (-1, 2, -2, 3), (7, -5, 4, -2), (3, 5, 9, -1) ,

Exercícios relacionados