Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Considere e encontre uma base para .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos
Estamos trabalhando com a teoria de espaços vetoriais e temos um conjunto composto por quatro vetores no espaço :
Nosso objetivo é encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos como independência linear, rank de uma matriz e redução de matrizes.
Passo 2
Organizando os Vetores em uma Matriz
Primeiro, vamos organizar os vetores de em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
Nosso objetivo é determinar quais colunas dessa matriz são linearmente independentes.
Passo 3
Aplicando o Método de Eliminação de Gauss
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma onde possamos identificar as colunas pivôs (aqueles que correspondem a vetores independentes).
Agora, usamos a terceira linha para eliminar os demais valores na terceira coluna:
Subtraímos 209 vezes a terceira linha da primeira.
Subtraímos 119 vezes a terceira linha da segunda.
Adicionamos 1139 vezes a terceira linha à quarta.
Após essas operações, a matriz ficará na forma escalonada reduzida, identificando os pivôs.
Resposta
Após a redução da matriz, identificamos que as três primeiras colunas correspondem a vetores linearmente independentes. Portanto, uma base para S é formada pelos vetores: