Sobre a teoria de espaços vetoriais:
Encontre uma condição para que um vetor v=(x, y, z, w) in R^4 seja combinação linear dos elementos de (-1,2,-2,3),(7,-5,4,-2),(3,5,9,-1),(1,-39,-33,-5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma condição para que um vetor v = (x, y, z, w) em R^4 seja uma combinação linear dos vetores (-1, 2, -2, 3), (7, -5, 4, -2), (3, 5, 9, -1), (1, -39, -33, -5).
Matéria envolvida: Teoria de Espaços Vetoriais, especificamente combinação linear e sistemas lineares.
O que vamos precisar: Resolver um sistema de equações lineares para determinar quando v pode ser escrito como uma combinação dos vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar coeficientes c1, c2, c3, c4 tais que:
c1 cdot (-1, 2, -2, 3) + c2 cdot (7, -5, 4, -2) + c3 cdot (3, 5, 9, -1) + c4 cdot (1, -39, -33, -5) = (x, y, z, w)
Isso resulta em um sistema de equações:
- c1 + 7c2 + 3c3 + c4 = x 2c1 - 5c2 + 5c3 - 39c4 = y -2c1 + 4c2 + 9c3 - 33c4 = z 3c1 - 2c2 - c3 - 5c4 = w

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema para facilitar a resolução:
-1 & 7 & 3 & 1 & | & x 2 & -5 & 5 & -39 & | & y -2 & 4 & 9 & -33 & | & z 3 & -2 & -1 & -5 & | & w
Para que esse sistema tenha solução, o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos termos independentes) não deve ser zero. Isso garante que os vetores são linearmente independentes, e qualquer vetor v pode ser escrito como uma combinação única deles.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
A = -1 & 7 & 3 & 1 2 & -5 & 5 & -39 -2 & 4 & 9 & -33 3 & -2 & -1 & -5
Calcular determinantes de matrizes 4x4 pode ser trabalhoso, mas se o determinante for diferente de zero ( det(A) neq 0), isso garante que os vetores formam uma base para R^4, ou seja, qualquer vetor v pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Supondo que o determinante det(A) seja diferente de zero, o sistema terá uma solução única para quaisquer valores de x, y, z, w . Portanto, a condição para que v = (x, y, z, w) seja uma combinação linear dos vetores dados é que a matriz dos coeficientes seja invertível, o que acontece quando det(A) neq 0.

Resposta

A condição para que o vetor v = (x, y, z, w) seja uma combinação linear dos vetores dados é que o determinante da matriz formada por esses vetores seja diferente de zero, ou seja:
det -1 & 7 & 3 & 1 2 & -5 & 5 & -39 -2 & 4 & 9 & -33 3 & -2 & -1 & -5 neq 0
Se esse determinante for diferente de zero, então v pode ser expresso como combinação linear dos vetores fornecidos.

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