Determine todos os polinômios irredutíveis de grau <= 3 em Z3[X].

Passo 1

A questão pede para encontrar todos os polinômios irreduzíveis de grau ≤ 3 em ℤ₃[X]. Vamos usar definição de irreduzibilidade em corpo finito e testar raízes em ℤ₃ para graus 2 e 3, já que qualquer fatoração não-trivial em grau ≤ 3 obrigatoriamente passa por um fator linear.

Passo 2

Em ℤ₃[X] um polinômio é irreduzível se não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor, com coeficientes em ℤ₃. Em particular:
– Todo polinômio de grau 1 com coeficiente líder não nulo é irreduzível.
– Todo polinômio de grau 2 ou 3 é irreduzível se e somente se não tem raízes em ℤ₃ (porque, caso tivesse, haveria um fator linear).

Passo 3

Para grau 1, listamos os monicos em ℤ₃[X] (coeficiente líder = 1). São todos irreduzíveis:
X, X+1, X+2

Passo 4

Para grau 2, consideramos os monicos X^2+aX+b com a,b∈ℤ₃ e testamos f(0),f(1),f(2). Aqueles sem raízes em ℤ₃ são irreduzíveis. Encontramos:
X^2+1, X^2+X+2, X^2+2X+2

Passo 5

Para grau 3, consideramos os monicos X^3+aX^2+bX+c com c≠0 (para evitar raiz em 0) e testamos f(1)≠0 e f(2)≠0. Isso garante ausência de fator linear. Os monicos irreduzíveis são:
X^3+2X+1, X^3+X^2+2X+1, X^3+2X^2+1, X^3+2X^2+X+1, X^3+2X+2, X^3+X^2+2, X^3+X^2+X+2, X^3+2X^2+2X+2

Passo 6

Observação: como as únicas unidades em ℤ₃ são 1 e 2, todos os outros irreduzíveis (não-monicos) são obtidos multiplicando esses monicos por 2.

Resposta

Irreducíveis monicos em ℤ₃[X] de grau ≤3:
Grau 1:
X, X+1, X+2
Grau 2:
X^2+1, X^2+X+2, X^2+2X+2
Grau 3:
X^3+2X+1, X^3+X^2+2X+1, X^3+2X^2+1, X^3+2X^2+X+1, X^3+2X+2, X^3+X^2+2, X^3+X^2+X+2, X^3+2X^2+2X+2

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