Determine todos os polinômios irredutíveis de grau
.
Passo 1
A questão pede para encontrar todos os polinômios irreduzíveis de grau ≤ 3 em ℤ₃[X]. Vamos usar definição de irreduzibilidade em corpo finito e testar raízes em ℤ₃ para graus 2 e 3, já que qualquer fatoração não-trivial em grau ≤ 3 obrigatoriamente passa por um fator linear.
Passo 2
Em ℤ₃[X] um polinômio é irreduzível se não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor, com coeficientes em ℤ₃. Em particular:
– Todo polinômio de grau 1 com coeficiente líder não nulo é irreduzível.
– Todo polinômio de grau 2 ou 3 é irreduzível se e somente se não tem raízes em ℤ₃ (porque, caso tivesse, haveria um fator linear).
– Todo polinômio de grau 1 com coeficiente líder não nulo é irreduzível.
– Todo polinômio de grau 2 ou 3 é irreduzível se e somente se não tem raízes em ℤ₃ (porque, caso tivesse, haveria um fator linear).
Passo 3
Para grau 1, listamos os monicos em ℤ₃[X] (coeficiente líder = 1). São todos irreduzíveis:
Passo 4
Para grau 2, consideramos os monicos
com
e testamos
. Aqueles sem raízes em ℤ₃ são irreduzíveis. Encontramos:
Passo 5
Para grau 3, consideramos os monicos
com
(para evitar raiz em 0) e testamos
e
. Isso garante ausência de fator linear. Os monicos irreduzíveis são:
Passo 6
Observação: como as únicas unidades em ℤ₃ são 1 e 2, todos os outros irreduzíveis (não-monicos) são obtidos multiplicando esses monicos por 2.
Resposta
Irreducíveis monicos em ℤ₃[X] de grau ≤3:
Grau 1:
Grau 1:
Grau 2:
Grau 3: