Seja f: Z[X] Z a aplicação definida por f(p(X))=p(-2).
a. Mostre que f é um homomorfismo sobrejetor.
b. Determine N u c(f).
c. (X+2) é um ideal maximal de Z[X] ? Utilize os itens anteriores para justificar a resposta.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a avaliação em −2 no anel ℤ[X], mostrando que é homomorfismo e sobrejetor, achar seu núcleo e usar isso para verificar se (X+2) é ideal maximal em ℤ[X]. Vamos usar teoria de homomorfismos de anéis, teorema do resto e isomorfismo fundamental.

Passo 2

Mostramos que f é homomorfismo de anéis definindo f§=p(−2). Para p,q∈ℤ[X] valem as propriedades de avaliação: f(p+q)=p(−2)+q(−2)=f§+f(q) e f(p⋅q)=p(−2)⋅q(−2)=f§⋅f(q).
Para sobrejetividade, dado qualquer z∈ℤ basta considerar o polinômio constante p(X)=z. Então f§=p(−2)=z, logo todo inteiro é imagem de algum polinômio.

Passo 3

O núcleo Nuc(f) é o conjunto de polinômios que anulam em X=−2, isto é {p∈ℤ[X]:p(−2)=0}. Pelo teorema do resto, dividindo p(X) por X+2 obtemos p(X)=(X+2)·q(X)+p(−2). Para p(−2)=0 a divisão não deixa resto, logo p(X)∈(X+2). Recíprocomente, todo múltiplo de X+2 anula em X=−2. Daí Nuc(f)=(X+2).

Passo 4

Pelo primeiro teorema de isomorfia, ℤ[X]/(X+2)≅Im(f)=ℤ. Como ℤ não é corpo, ℤ[X]/(X+2) não é anel quociente de um maximal. Logo (X+2) não é ideal maximal em ℤ[X].

Resposta

a. f é homomorfismo de anéis e sobrejetor.
b. Nuc(f)=(X+2).
c. (X+2) não é ideal maximal em ℤ[X], pois ℤ[X]/(X+2)≅ℤ e ℤ não é corpo.

Exercícios relacionados