Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em Q[X] :
f(X)=X^2+3

Passo 1

Temos o polinômio f(X)=X^2+3 e queremos ver se ele é irredutível em Q[X]. O conteúdo envolve irreduzibilidade de polinômios de grau 2, e vamos usar o Teorema da Raiz Racional para resolver.

Passo 2

O Teorema da Raiz Racional diz que, se f tiver alguma raiz em Q, ela deve ser da forma pm p/q, onde p divide o termo independente (3) e q divide o coeficiente líder (1). Assim, as únicas raízes possíveis são pm1 e pm3. Vamos testar:

Passo 3

Calculamos
f(1)=1^2+3=4neq0,
f(-1)=(-1)^2+3=4neq0,
f(3)=3^2+3=12neq0,
f(-3)=(-3)^2+3=12neq0
Como nenhuma dessas avaliações anula o polinômio, não existem raízes racionais.

Passo 4

Como f é de grau 2, qualquer fatoração não-trivial em Q[X] implicaria uma raiz racional (um fator de grau 1). Mas não há raízes racionais, logo não há fatoração possível. Portanto, f(X)=X^2+3 é irredutível em Q[X].

Resposta

O polinômio f(X)=X^2+3 é irredutível em Q[X].

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