Verifique se os polinômios abaixo são irredutíveis em
:
Passo 1
Temos o polinômio
e queremos ver se ele é irredutível em
. O conteúdo envolve irreduzibilidade de polinômios de grau 2, e vamos usar o Teorema da Raiz Racional para resolver.
Passo 2
O Teorema da Raiz Racional diz que, se
tiver alguma raiz em
, ela deve ser da forma
, onde
divide o termo independente (3) e
divide o coeficiente líder (1). Assim, as únicas raízes possíveis são
e
. Vamos testar:
Passo 3
Calculamos
Como nenhuma dessas avaliações anula o polinômio, não existem raízes racionais.
Como nenhuma dessas avaliações anula o polinômio, não existem raízes racionais.
Passo 4
Como
é de grau 2, qualquer fatoração não-trivial em
implicaria uma raiz racional (um fator de grau 1). Mas não há raízes racionais, logo não há fatoração possível. Portanto,
é irredutível em
.
Resposta
O polinômio f(X)=X^2+3 é irredutível em
.