Seja
a aplicação definida por
.
a. Mostre que
é um homomorfismo sobrejetor.
b. Mostre que
.
c. Conclua que
é isomorfo a um corpo. Qual?
a. Mostre que
b. Mostre que
c. Conclua que
Passo 1
Primeiro, resumindo o enunciado: temos o avaliador f:
definido por
. O conteúdo envolve homomorfismo de anéis, o Teorema do Resto (ou Teorema do Fator) para polinômios e o Primeiro Teorema de Isomorfismo de anéis. Vamos usar essas ideias para mostrar que f é homomorfismo e sobrejetora, identificar seu núcleo e deduzir o isomorfismo do quociente.
Passo 2
Em seguida, mostramos que f preserva soma, produto e unidade: para quaisquer
, vale
,
e
. Logo f é um homomorfismo de anéis.
Passo 3
Para ver que f é sobrejetora, basta notar que para qualquer
o polinômio constante
satisfaz
. Assim todo elemento de
tem um antecedente em
.
Passo 4
Agora determinamos o núcleo de f: por definição
. Pelo Teorema do Resto, um polinômio
satisfaz
se, e somente se, existe
tal que
. Portanto
.
Passo 5
Finalmente, pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo de anéis, temos
Como