Seja f: R[X] R a aplicação definida por f(p(X))=p(1).
a. Mostre que f é um homomorfismo sobrejetor.
b. Mostre que Nuc(f)=(X-1).
c. Conclua que R[X] /(X-1) é isomorfo a um corpo. Qual?

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: temos o avaliador f: R[X]toR definido por f(p(X))=p(1). O conteúdo envolve homomorfismo de anéis, o Teorema do Resto (ou Teorema do Fator) para polinômios e o Primeiro Teorema de Isomorfismo de anéis. Vamos usar essas ideias para mostrar que f é homomorfismo e sobrejetora, identificar seu núcleo e deduzir o isomorfismo do quociente.

Passo 2

Em seguida, mostramos que f preserva soma, produto e unidade: para quaisquer p,qinR[X], vale f(p+q)=p(1)+q(1)=f(p)+f(q), f(pq)=p(1)q(1)=f(p)f(q) e f(1)=1. Logo f é um homomorfismo de anéis.

Passo 3

Para ver que f é sobrejetora, basta notar que para qualquer rinR o polinômio constante p(X)=r satisfaz f(p)=r. Assim todo elemento de R tem um antecedente em R[X].

Passo 4

Agora determinamos o núcleo de f: por definição ker(f)=pinR[X]:p(1)=0. Pelo Teorema do Resto, um polinômio p satisfaz p(1)=0 se, e somente se, existe q(X)inR[X] tal que p(X)=(X-1)q(X). Portanto ker(f)=(X-1).

Passo 5

Finalmente, pelo Primeiro Teorema de Isomorfismo de anéis, temos
R[X]/ker(f)congIm(f)=R
Como R é um corpo, concluímos que R[X]/(X-1) é isomorfo ao corpo R.

Resposta

R[X]/(X-1) é isomorfo ao corpo R.

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