Mostre que é irredutível em . Identifique o corpo .
Passo 1
Resumo do enunciado e definição do que vamos usar: mostrar que o polinômio é irreduzível no anel aplicando o critério de grau 2 sem raízes reais, e em seguida caracterizar o corpo quociente .
Passo 2
Mostramos que não tem raízes em . Se existisse tal que , então , o que é impossível em . Pelo teorema que diz que um polinômio de grau 2 é irreduzível se e somente se não tem raízes no corpo, concluímos que é irreduzível em .
Passo 3
Para identificar o corpo , note que toda classe de resto pode ser escrita como , onde X é a classe de X. Na quociente vale X^2=-1, exatamente como o número imaginário i em C. Definimos o homomorfismo de anéis
phi:R[X]toC, phil(P(X)r)=P(i)
Ele é sobrejetor e tem kerphi=(X^2+1). Pelo Primeiro Teorema do Isomorfismo, segue R[X]/(X^2+1)congC
Resposta
O polinômio X^2+1 é irreduzível em R[X] e o corpo R[X]/(X^2+1) é isomorfo ao corpo dos números complexos C.