Mostre que X^2+1 é irredutível em R[X]. Identifique o corpo .

Passo 1

Resumo do enunciado e definição do que vamos usar: mostrar que o polinômio X^2 + 1 é irreduzível no anel R[X] aplicando o critério de grau 2 sem raízes reais, e em seguida caracterizar o corpo quociente R[X]/(X^2+1).

Passo 2

Mostramos que X^2+1 não tem raízes em R. Se existisse alphainR tal que alpha^2+1=0, então alpha^2=-1, o que é impossível em R. Pelo teorema que diz que um polinômio de grau 2 é irreduzível se e somente se não tem raízes no corpo, concluímos que X^2+1 é irreduzível em R[X].

Passo 3

Para identificar o corpo R[X]/(X^2+1), note que toda classe de resto pode ser escrita como a+b,X, onde X é a classe de X. Na quociente vale X^2=-1, exatamente como o número imaginário i em C. Definimos o homomorfismo de anéis
phi:R[X]toC, phil(P(X)r)=P(i)
Ele é sobrejetor e tem kerphi=(X^2+1). Pelo Primeiro Teorema do Isomorfismo, segue
R[X]/(X^2+1)congC

Resposta

O polinômio X^2+1 é irreduzível em R[X] e o corpo R[X]/(X^2+1) é isomorfo ao corpo dos números complexos C.

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