Determine todos os pontos em que a função é contínua.
b)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de várias variáveis e identificar onde o denominador da fração não é zero, já que divisão por zero é indefinida.
Passo 2
A continuidade de uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, depende de duas coisas:
- O numerador e o denominador são contínuos em todo o seu domínio.
- O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe.
Então, para a nossa função
, precisamos garantir que o denominador
não seja igual a zero.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde o denominador é zero:
Resolvendo para
:
Isso significa que quando
for igual a
, o denominador será zero, tornando a função indefinida nesse caso.
Passo 4
Portanto, a função
será contínua em todos os pontos onde
. Em outras palavras, a função é contínua em todo o plano
, exceto na linha
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
onde
. Ou seja, é contínua em todo
exceto na linha definida por
.