Determine todos os pontos em que função a seguir é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) e quando é diferente. A matéria aqui é continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x,y) to (a,b) f(x, y) = f(a, b)
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
f(x, y)=ll (2x + y)^2x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0), 1, & se (x, y) = (0,0)
Nosso objetivo é descobrir em quais pontos f é contínua. Observando a definição, a função tem uma regra diferente quando (x, y) = (0,0) , então é aí que a coisa pode complicar.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a continuidade em todos os pontos que não são (0,0) . Para (x, y) neq (0,0) , a função é composta por polinômios no numerador e denominador. Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, e como o denominador x^2 + y^2 não é zero nesses pontos, f(x, y) é contínua em todos esses lugares.
Passo 5
Agora, o ponto crítico é (0,0) . Precisamos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) (2x + y)^2x^2 + y^2 = 1
Se o limite existir e for igual a 1, a função será contínua em (0,0) . Caso contrário, não será.
Passo 6
Vamos calcular o limite. Uma forma comum de verificar limites em várias variáveis é analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes para caminhos diferentes, isso significa que o limite não existe.
Vamos tentar dois caminhos simples:
Caminho 1: y = 0
Substituindo na função:
(2x + 0)^2x^2 + 0^2 = 4x^2x^2 = 4
Então, ao se aproximar de (0,0) pela linha y = 0 , o limite é 4.
Aqui, ao se aproximar pela linha y = 2x , o limite é 165 .
Passo 7
Vimos que ao se aproximar por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes (4 e 165 ). Isso significa que o limite geral não existe. Como o limite não existe em (0,0) , a função f(x, y) não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função f(x, y) é contínua em todos os pontos (x, y) do plano, exceto no ponto (0,0) .