Use a definição formal de limite (dados varepsilon>0 e de0 ) para mostrar que lim x 3(2 x+1)=7.

Passo 1

O enunciado pede pra provar que limxto3(2x+1)=7 usando a definição formal de limite (épsilon-delta). O conteúdo aqui é justamente aplicar a definição de limite de função num ponto e manipular valor absoluto pra achar uma relação entre |f(x)-7| e |x-3|.

Passo 2

A definição formal de limite diz que limxto af(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, temos |f(x)-L|. Aqui a=3 e L=7.

Passo 3

Aplicando isso a f(x)=2x+1, calculamos a diferença em bloco pra ficar mais claro:
|f(x)-7| = |2x+1 - 7| = |2x - 6| = 2|x - 3|
Isso mostra que |f(x)-7| está diretamente ligado a |x-3| por um fator 2.

Passo 4

Para garantir |f(x)-7|, basta exigir
2|x-3|
Logo, uma escolha natural é de, que é positiva sempre que varepsilon>0.

Passo 5

Portanto, dados varepsilon>0, se tomarmos de então, sempre que 0<|x-3|, teremos
|2x+1 - 7| = 2|x-3| < 2de
o que satisfaz a definição formal de limite. Assim concluímos que limxto3(2x+1)=7.

Resposta

Escolhendo de satisfazemos a definição formal, logo limxto3(2x+1)=7.

Exercícios relacionados