Use a definição formal de limite (dados
e
) para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede pra provar que
usando a definição formal de limite (épsilon-delta). O conteúdo aqui é justamente aplicar a definição de limite de função num ponto e manipular valor absoluto pra achar uma relação entre
e
.
Passo 2
A definição formal de limite diz que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando isso a
, calculamos a diferença em bloco pra ficar mais claro:
Isso mostra que
está diretamente ligado a
por um fator 2.
Passo 4
Para garantir
, basta exigir
Logo, uma escolha natural é
, que é positiva sempre que
.
Passo 5
Portanto, dados
, se tomarmos
então, sempre que
, teremos
o que satisfaz a definição formal de limite. Assim concluímos que
.
Resposta
Escolhendo
satisfazemos a definição formal, logo
.