Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=t^2+1, y=e^-1

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x = t^2 + 1, y = e^-1
e pede a primeira e a segunda derivadas de y em relação a x e, em seguida, para quais t a curva é côncava para cima. O conteúdo envolvido é derivação de função paramétrica e análise de sinal da segunda derivada.

Passo 2

Calculemos as derivadas de x e y em relação a t. Como y é constante (igual a e^-1 para todo t),
x'(t) = ddtl(t^2+1r) = 2t, y'(t) = ddtl(e^-1r) = 0

Passo 3

A primeira derivada dy/dx para curva paramétrica é
dydx = y'(t)x'(t) = 02t = 0 (para tneq 0; mas, como é reta horizontal, va<= 0 também em t=0) éé

Passo 4

A segunda derivada d^2y/dx^2 é dada por
d^2ydx^2 = ddx!l(dydxr) = tfracddt(dy/dx)x'(t) = tfracddt(0)2t = 02t = 0

Passo 5

A concavidade para cima ocorre quando ,d^2y/dx^2>0. Aqui temos
d^2ydx^2 = 0
para todo t, ou seja, nunca é estritamente positiva. Geometricamente, a curva é a reta horizontal y=e^-1, que não é côncava nem para cima nem para baixo.

Resposta

dydx=0, d^2ydx^2=0,
a curva não é côncava para cima para nenhum valor de t.

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