Encontre todos os pontos do gráfico de f(x)=x^2 que tem retas tangentes que contem o ponto (5,9) (Note que (5,9) não é o ponto de tangência).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos do gráfico de f(x)=x² cujas retas tangentes passam pelo ponto (5,9). Vamos usar derivada para achar a inclinação da reta tangente e depois impor que essa reta passe por (5,9).

Passo 2

Seja P(a,a²) um ponto genérico do gráfico. A derivada f’(x)=2x dá a inclinação da tangente em P. Logo, m = f’(a) = 2a. A equação da reta tangente em P é dada por
y - a^2 = 2a,(x - a)

Passo 3

Para que essa reta contenha o ponto (5,9), basta substituir x=5 e y=9 na equação da reta:
9 - a^2 = 2a,(5 - a)

Passo 4

Desenvolvendo e reorganizando:
9 - a^2 = 10a - 2a^2
9 - a^2 - 10a + 2a^2 = 0
a^2 - 10a + 9 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
a = 10 pm raiz100 - 362 = 10 pm 82
Portanto a = 1 ou a = 9.

Passo 6

Substituindo em P(a,a²), obtemos os pontos de tangência:
(1,1) e (9,81).

Resposta

Os pontos do gráfico de f(x)=x² cujas retas tangentes passam por (5,9) são (1,1) e (9,81).

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