Encontre todos os pontos do gráfico de
que tem retas tangentes que contem o ponto
(Note que
não é o ponto de tangência).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos do gráfico de f(x)=x² cujas retas tangentes passam pelo ponto (5,9). Vamos usar derivada para achar a inclinação da reta tangente e depois impor que essa reta passe por (5,9).
Passo 2
Seja P(a,a²) um ponto genérico do gráfico. A derivada f’(x)=2x dá a inclinação da tangente em P. Logo, m = f’(a) = 2a. A equação da reta tangente em P é dada por
Passo 3
Para que essa reta contenha o ponto (5,9), basta substituir x=5 e y=9 na equação da reta:
Passo 4
Desenvolvendo e reorganizando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto a = 1 ou a = 9.
Passo 6
Substituindo em P(a,a²), obtemos os pontos de tangência:
(1,1) e (9,81).
(1,1) e (9,81).
Resposta
Os pontos do gráfico de f(x)=x² cujas retas tangentes passam por (5,9) são (1,1) e (9,81).