Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade da função
em todos os
e, quando for diferenciável, calcular
. Veremos que há pontos em que a raiz cúbica interna deixa de ser diferenciável, mas pode ocorrer que o produto compense essa falta.
Passo 2
O domínio natural é
, pois
está bem definido para todo
. Definimos
Sabemos que a função
tem derivada
, que não existe em
. Logo
falha em ser diferenciável exatamente quando
Para todo
,
é diferenciável,
é diferenciável e o produto por
também, portanto
é diferenciável sempre que
.
Passo 3
Agora verificamos diretamente a diferenciabilidade em
.
Pelo limite do quociente, para
,
Como
quando
, segue
. Assim
portanto
é diferenciável em
.
Passo 4
Em
temos
e
. Para checar
estudamos
Mas para
logo
e
. Não existe limite finito, então
não é diferenciável em
.
Passo 5
Para
usamos a regra do produto e a cadeia. Temos
logo
Como
segue
Podemos também escrever
Resposta
A função
é diferenciável em todo
exceto em
.
- Em
, . - Para
,