Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=x sen(raiz[3]x^5-x^2)

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a diferenciabilidade da função
f(x)=xsin!l(raiz[3]x^5 - x^2r)
em todos os xinR e, quando for diferenciável, calcular f'(x). Veremos que há pontos em que a raiz cúbica interna deixa de ser diferenciável, mas pode ocorrer que o produto compense essa falta.

Passo 2

O domínio natural é R, pois raiz[3]x^5 - x^2 está bem definido para todo x. Definimos
g(x)=raiz[3]x^5 - x^2=(x^5 - x^2)^1/3
Sabemos que a função ymapsto y^1/3 tem derivada tfrac13y^-2/3, que não existe em y=0. Logo g falha em ser diferenciável exatamente quando
x^5 - x^2=0 Long<=ftrightarrow x^2(x^3 -1)=0 Long<=ftrightarrow x=0 ou x=1
Para todo xneq0,1, g é diferenciável, sincirc g é diferenciável e o produto por x também, portanto f é diferenciável sempre que xneq0,1.

Passo 3

Agora verificamos diretamente a diferenciabilidade em x=0.
f(0)=0cdotsinl(g(0)r)=0
Pelo limite do quociente, para hto0,
f(h)-f(0)h =hsinl(g(h)r)h =sinl(g(h)r)
Como g(h)=raiz[3]h^5-h^2to0 quando hto0, segue sin(g(h))to0. Assim
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=0,
portanto f é diferenciável em x=0.

Passo 4

Em x=1 temos g(1)=raiz[3]1-1=0 e f(1)=1cdotsin(0)=0. Para checar f'(1) estudamos
f(1+h)-f(1)h =(1+h)sinl(g(1+h)r)h =sinl(g(1+h)r);+;sinl(g(1+h)r)h,
Mas para hto0
g(1+h)=raiz[3](1+h)^5-(1+h)^2 simraiz[3]3h=(3h)^1/3,
logo sin(g(1+h))sim(3h)^1/3 e
sin(g(1+h))/hsim3^1/3h^-2/3toinfty. Não existe limite finito, então f não é diferenciável em x=1.

Passo 5

Para xneq0,1 usamos a regra do produto e a cadeia. Temos
f(x)=x;sinl(g(x)r),
logo
f'(x) =sinl(g(x)r) ;+;xcosl(g(x)r),g'(x)
Como
g'(x) =13(x^5 - x^2)^-2/3,(5x^4-2x) =5x^4-2x3,(x^5 - x^2)^2/3,
segue
f'(x) =sin!l(raiz[3]x^5 - x^2r) ;+; xcos!l(raiz[3]x^5 - x^2r), 5x^4-2x3,(x^5 - x^2)^2/3
Podemos também escrever
f'(x) =sin!l(raiz[3]x^5 - x^2r) ;+; 5x^5-2x^23,(x^5 - x^2)^2/3 ;cos!l(raiz[3]x^5 - x^2r)

Resposta

A função f é diferenciável em todo R exceto em x=1.
  • Em x=0, f'(0)=0.
  • Para xneq0,1,
f'(x) =sin!l(raiz[3]x^5 - x^2r) ;+; 5x^5-2x^23,(x^5 - x^2)^2/3 ;cos!l(raiz[3]x^5 - x^2r)

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