Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(\cos x \cos y+2 x) d x-(\sin x \sin y+2 y) d y=0
(\cos x \cos y+2 x) d x-(\sin x \sin y+2 y) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Para isso identificamos
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é função constante em relação a
.
Passo 4
Impondo
, temos
Logo
e
Portanto
é a função potencial (podemos incorporar
em uma constante geral).
Resposta
A solução implícita geral é