Nos problemas abaixo, determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(\cos x \cos y+2 x) d x-(\sin x \sin y+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(cos xcos y + 2x),dx - (sin xsin y + 2y),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Para isso identificamos
M(x,y) = cos xcos y + 2x, N(x,y) = -l(sin xsin y + 2yr)

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = -cos xsin y, partial Npartial x = -cos xsin y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x = M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) = integral (cos xcos y + 2x),dx = cos y integral cos x,dx + integral 2x,dx = sin xcos y + x^2 + g(y),
onde g(y) é função constante em relação a x.

Passo 4

Impondo partial F/partial y = N, temos
partial Fpartial y = -sin xsin y + g'(y) stackrel!= -sin xsin y - 2y
Logo g'(y) = -2y e
g(y) = -y^2 + C1
Portanto
F(x,y) = sin xcos y + x^2 - y^2
é a função potencial (podemos incorporar C1 em uma constante geral).

Resposta

A solução implícita geral é
sin xcos y + x^2 - y^2 = C

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