Determine todos os z que satisfazem
senh z=-i

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação senh z = -i. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas e números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno hiperbólico se comporta quando aplicada a números complexos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z pode ser escrito como z = x + i y, onde x e y são números reais. Nossa meta é encontrar todos os valores de z que satisfazem senh z = -i.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da função seno hiperbólico para números complexos:
senh(z) = senh(x + i y) = senh(x) cos(y) + i cosh(x) sen(y)
Isso significa que:
senh(x + i y) = senh(x) cos(y) + i cosh(x) sen(y)

Passo 4

Igualando isso a -i, temos:
senh(x) cos(y) + i cosh(x) sen(y) = -i
Isso nos dá duas equações reais:
  1. Parte real: senh(x) cos(y) = 0
  2. Parte imaginária: cosh(x) sen(y) = -1

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação: senh(x) cos(y) = 0
Isso pode ocorrer de duas maneiras:
  • senh(x) = 0
  • cos(y) = 0

Passo 6

Primeiro, consideramos senh(x) = 0. Sabemos que senh(x) = 0 apenas quando x = 0.
Então, x = 0.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda equação com x = 0:
cosh(0) sen(y) = -1
Sabemos que cosh(0) = 1, então:
1 cdot sen(y) = -1 implies sen(y) = -1

Passo 8

A equação sen(y) = -1 tem soluções quando:
y = -pi2 + 2pi k, onde k é um inteiro é

Passo 9

Voltando à nossa representação de z = x + i y, substituímos x = 0 e as soluções de y encontradas:
z = 0 + i ( -pi2 + 2pi k ) = -ipi2 + i 2pi k

Resposta

Todos os valores de z que satisfazem senh z = -i são dados por:
z = -ipi2 + i, 2pi k, onde k é um inteiro é

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