Determine todos os
que satisfazem
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas e números complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno hiperbólico se comporta quando aplicada a números complexos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. Nossa meta é encontrar todos os valores de
que satisfazem
.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da função seno hiperbólico para números complexos:
Isso significa que:
Passo 4
Igualando isso a
, temos:
Isso nos dá duas equações reais:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação:
Isso pode ocorrer de duas maneiras:
Passo 6
Primeiro, consideramos
. Sabemos que
apenas quando
.
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda equação com
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
A equação
tem soluções quando:
Passo 9
Voltando à nossa representação de
, substituímos
e as soluções de
encontradas:
Resposta
Todos os valores de
que satisfazem
são dados por: