Determine todos os
que satisfazem
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções exponenciais e logaritmos complexos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função seno hiperbólico pode ser escrita em termos de exponenciais:
Então, a equação fica:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
. Então,
. Substituindo na equação:
Passo 5
Multiplicando todos os termos por
para eliminar a fração:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação
, as soluções são:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então:
Passo 7
Então, encontramos que
. Lembrando que
, então:
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 8
Para calcular
, usamos a forma polar de números complexos. Sabemos que
pode ser escrito como
, onde
é qualquer inteiro, devido à periodicidade do círculo unitário.
Então:
Resposta
Todos os números complexos que satisfazem
são dados por: