Determine todos os z que satisfazem
(i) senh z=i

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação senh z = i. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de funções exponenciais e logaritmos complexos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função seno hiperbólico pode ser escrita em termos de exponenciais:
senh z = e^z - e^-z2
Então, a equação fica:
e^z - e^-z2 = i

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
e^z - e^-z = 2i

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja w = e^z. Então, e^-z = 1w. Substituindo na equação:
w - 1w = 2i

Passo 5

Multiplicando todos os termos por w para eliminar a fração:
w^2 - 1 = 2i w
Agora, temos uma equação quadrática em termos de w:
w^2 - 2i w - 1 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para uma equação aw^2 + bw + c = 0, as soluções são:
w = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -2i e c = -1. Calculando o discriminante:
De<a = (-2i)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1) = -4 - (-4) = 0
Então:
w = 2i pm raiz02 = 2i2 = i

Passo 7

Então, encontramos que w = i. Lembrando que w = e^z, então:
e^z = i
Para encontrar z, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
z = ln(i)

Passo 8

Para calcular ln(i), usamos a forma polar de números complexos. Sabemos que i pode ser escrito como e^i pi2 + 2kpi i, onde k é qualquer inteiro, devido à periodicidade do círculo unitário.
Então:
ln(i) = i (pi2 + 2kpi) onde k in Z

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem senh z = i são dados por:
z = i (pi2 + 2kpi) onde k é qualquer inteiro é

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