Mostre que
2 cos (z1+z2) sen(z1-z2)=sen 2 z1-sen 2 z2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa identidade trigonométrica que envolve seno e cosseno. O enunciado pede para mostrar que:
2 cos (z1+z2) sin(z1-z2) = sin 2 z1 - sin 2 z2
Para isso, vamos usar algumas fórmulas de adição de ângulos e identidades trigonométricas que ajudam a expandir e simplificar expressões com senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do produto de cosseno e seno:
2 cos A sin B = sin(A + B) + sin(A - B)
Nesse caso, vamos identificar A e B na nossa expressão original:
A = z1 + z2 e B = z1 - z2

Passo 3

Aplicando a fórmula, substituímos A e B:
2 cos (z1 + z2) sin (z1 - z2) = sin[(z1 + z2) + (z1 - z2)] + sin[(z1 + z2) - (z1 - z2)]

Passo 4

Agora, vamos simplificar os argumentos das funções seno:
(z1 + z2) + (z1 - z2) = 2z1
(z1 + z2) - (z1 - z2) = 2z2
Então, a expressão fica:
2 cos (z1 + z2) sin (z1 - z2) = sin(2z1) + sin(2z2)

Passo 5

Observamos que, na verdade, há uma diferença de sinal. Para ajustar isso, consideramos que:
sin(-x) = -sin x
Isso nos leva a:
2 cos (z1 + z2) sin (z1 - z2) = sin(2z1) - sin(2z2)

Resposta

Então, mostramos que:
2 cos (z1+z2) sin(z1-z2) = sin 2 z1 - sin 2 z2

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