Determine todos os z que satisfazem
senh z=0

Passo 1

Vamos lá! Temos que resolver a equação senh, z = 0. Esse exercício pertence à matéria de funções hiperbólicas, especificamente à função seno hiperbólico. Para resolver, vamos precisar entender como é definida a função seno hiperbólico e usar propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da função seno hiperbólico. A função senh, z é dada por:
senh, z = e^z - e^-z2
onde e é a base do logaritmo natural, e z é um número complexo.

Passo 3

Queremos encontrar todos os valores de z que satisfazem senh, z = 0. Ou seja:
e^z - e^-z2 = 0

Passo 4

Podemos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
e^z - e^-z = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
e^z = e^-z

Passo 6

Isso implica que e^z cdot e^z = e^0, já que e^a cdot e^b = e^a+b e z + (-z) = 0. Então:
e^2z = 1

Passo 7

Sabemos que e^2z = 1 quando 2z = 2npi i, onde n é qualquer inteiro (positivos, negativos ou zero). Isso ocorre porque a função exponencial e^itheta é igual a 1 quando theta é múltiplo de 2pi.

Passo 8

Então, temos:
2z = 2npi i
Podemos dividir ambos os lados por 2 para isolar z:
z = npi i

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem senh, z = 0 são da forma z = npi i, onde n é qualquer inteiro.

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