Determine todos os
que satisfazem
Passo 1
Vamos lá! Temos que resolver a equação
. Esse exercício pertence à matéria de funções hiperbólicas, especificamente à função seno hiperbólico. Para resolver, vamos precisar entender como é definida a função seno hiperbólico e usar propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da função seno hiperbólico. A função
é dada por:
onde
é a base do logaritmo natural, e
é um número complexo.
Passo 3
Queremos encontrar todos os valores de
que satisfazem
. Ou seja:
Passo 4
Podemos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação:
Passo 6
Isso implica que
, já que
e
. Então:
Passo 7
Sabemos que
quando
, onde
é qualquer inteiro (positivos, negativos ou zero). Isso ocorre porque a função exponencial
é igual a 1 quando
é múltiplo de
.
Passo 8
Então, temos:
Podemos dividir ambos os lados por 2 para isolar
:
Resposta
Todos os números complexos que satisfazem
são da forma
, onde
é qualquer inteiro.