Use as partes real e imaginária da relação
1+z+z^2+cdots+z^n=1-z^n+11-z
para obter uma fórmula para
1+cos x+cos 2 x+cdots+cos n x

Passo 1

O enunciado pede a soma
S = 1 + cos x + cos2x + cdots + cos nx
e sugere usar a identidade
1 + z + z^2 + cdots + z^n = 1 - z^,n+11 - z
Como Re(e^ikx) = cos(kx), vamos escolher z = e^ix e calcular a soma geométrica para depois extrair a parte real.

Passo 2

Com z = e^ix, a soma complexa é
sumk=0^n e^ikx = 1 - e^i(n+1)x1 - e^ix

Passo 3

Para simplificar, fatoramos numerador e denominador:
1 - e^i(n+1)x = e^i,(n+1)x/2l(e^-i,(n+1)x/2 - e^i,(n+1)x/2r) = -2i,e^i,(n+1)x/2,sin!l((n+1)x/2r),
1 - e^ix = e^i x/2l(e^-i x/2 - e^i x/2r) = -2i,e^i x/2,sin!l(x/2r)
Logo,
sumk=0^n e^ikx = -2i,e^i,(n+1)x/2,sin!l((n+1)x/2r) -2i,e^i x/2,sin!l(x/2r) = e^i,n x/2,sin!l((n+1)x/2r)sin!l(x/2r)

Passo 4

Chamando
Scplx = sumk=0^n e^ikx = e^i,n x/2,sin!l((n+1)x/2r)sin!l(x/2r),
temos
S = Rel(Scplxr) = Re!l(e^i,n x/2r), sin!l((n+1)x/2r)sin!l(x/2r) = cos!l(n x/2r), sin!l((n+1)x/2r)sin!l(x/2r)

Resposta

1 + cos x + cos2x + cdots + cos nx = sin!l((n+1)tfracx2r),cos!l(ntfracx2r) sin!l(tfracx2r)

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