Mostre que:
sen z=sen barz

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: precisamos mostrar que o conjugado de sin z é igual a sin z. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas no campo dos números complexos, especificamente a definição da função seno para números complexos e propriedades de números conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a função seno é definida para um número complexo. Se z = x + iy , onde x e y são números reais, então:
sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y
Aqui, cosh e sinh são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o conjugado de sin z. O conjugado de um número complexo a + ib é a - ib . Aplicando isso à expressão que encontramos para sin z:
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y = sin x cosh y - i cos x sinh y

Passo 4

Vamos agora calcular sin z. O conjugado de z = x + iy é z = x - iy . Aplicando a definição da função seno para z:
sin z = sin(x - iy) = sin x cosh y - i cos x sinh y

Passo 5

Comparando as expressões que obtivemos:
sin z = sin x cosh y - i cos x sinh y
sin z = sin x cosh y - i cos x sinh y
Vemos que ambas são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que sin z = sin z.

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