Obtenha os geradores de (Z20,+).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os geradores do grupo cíclico l(Z20,+r). Isso envolve o conceito de grupo cíclico e de ordem de um elemento: um gerador é um elemento cuja ordem é igual à ordem do grupo, aqui 20.

Passo 2

Em Z20, cada elemento é uma classe bara com ain0,1,2,dots,19. A ordem de bara é o menor k>0 tal que
kbara = bar0,
Sabe-se que
ord(bara) ;=;20gcd(a,20)
Para que bara seja gerador, precisamos de ord(bara)=20.

Passo 3

Para ter ord(bara)=20 basta exigir
20gcd(a,20) = 20 Long<=ftrightarrow gcd(a,20) = 1
Logo, os geradores são exatamente as classes bara com a relativamente primo a 20.

Passo 4

Basta listar os ain1,2,dots,19 tais que gcd(a,20)=1. Os divisores de 20 são 1,2,4,5,10,20, então descartamos qualquer a múltiplo de 2 ou de 5.

Passo 5

Os inteiros entre 1 e 19 que não são múltiplos de 2 nem de 5 são
1,,3,,7,,9,,11,,13,,17,,19
Portanto as classes correspondentes em Z20 geram todo o grupo.

Resposta

Os geradores de l(Z20,+r) são
1,;3,;7,;9,;11,;13,;17,;19

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