Sejam
um grupo e
. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado diz: em um grupo
, para
definimos a ordem de
,
, como o menor inteiro positivo
tal que
, onde
é o elemento neutro. Precisamos provar
Passo 2
Prova de “
”:
Assuma . Por definição, isso significa que
Assuma
e que não existe
tal que
, logo
. Mas
é o mesmo que
Pelo axioma do inverso único em grupos, o único elemento que multiplicado por
dá
é
. Como
, segue que
Passo 3
Prova de “
”:
Assuma . Então
Assuma
pois
. Logo existe um expoente positivo (namely 2) que envia
para
. Se
, então
mas nesse caso
, e não 2; portanto, para que tenha ordem 2 precisamos que
. Supondo
, não há expoente
que satisfaça
, e o menor expoente que dá
é
. Assim
.
Passo 4
Juntando as duas direções, concluímos