Sejam G um grupo e x in G. Prove que o(x)=2 se, e somente se, x=x^-1.

Passo 1

O enunciado diz: em um grupo G, para xin G definimos a ordem de x, o(x), como o menor inteiro positivo n tal que x^n=e, onde e é o elemento neutro. Precisamos provar
o(x)=2se, e somente se, x=x^-1

Passo 2

Prova de “ o(x)=2 Longrightarrow x=x^-1”:
Assuma o(x)=2. Por definição, isso significa que
x^2=e
e que não existe n<2 tal que x^n=e, logo xneq e. Mas x^2=e é o mesmo que
xcdot x = e
Pelo axioma do inverso único em grupos, o único elemento que multiplicado por x e é x^-1. Como xcdot x=e, segue que
x^-1=x

Passo 3

Prova de “ x=x^-1 Longrightarrow o(x)=2”:
Assuma x=x^-1. Então
x^2 = xcdot x = e,
pois xcdot x^-1=e. Logo existe um expoente positivo (namely 2) que envia x para e. Se x=e, então x^2=e mas nesse caso o(x)=1, e não 2; portanto, para que tenha ordem 2 precisamos que xneq e. Supondo xneq e, não há expoente 1 que satisfaça x^1=e, e o menor expoente que dá e é 2. Assim o(x)=2.

Passo 4

Juntando as duas direções, concluímos
o(x)=2Long<=ftrightarrow x=x^-1

Resposta

o(x)=2 se, e somente se, x=x^-1.

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