Determine todos os subgrupos aditivos do grupo aditivo Z6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os subgrupos aditivos de Z6. O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em particular a classificação dos subgrupos de um grupo cíclico. Para resolver, vamos usar o fato de que, em um grupo cíclico de ordem n, há exatamente um subgrupo de cada ordem d que divide n.

Passo 2

Em um grupo cíclico Zn, cada divisor d de n determina um subgrupo de ordem d, que é gerado pelo elemento bark, onde
k = nd
em classe de resto módulo n.

Passo 3

Os divisores de 6 são 1,2,3,6. Para cada divisor d calculamos k = 6/d e o subgrupo gerado por bark:
  • Para d=1: k=6/1=6equivbar0. O subgrupo é bar0, de ordem 1.
  • Para d=2: k=6/2=3. O subgrupo é bar0,bar3, de ordem 2.
  • Para d=3: k=6/3=2. O subgrupo é bar0,bar2,bar4, de ordem 3.
  • Para d=6: k=6/6=1. O subgrupo é bar0,bar1,bar2,bar3,bar4,bar5=Z6, de ordem 6.

Passo 4

Concluímos que não existem outros subgrupos além daqueles correspondentes aos divisores de 6. Assim, os subgrupos aditivos de Z6 são exatamente os listados abaixo.

Resposta

bar0
bar0,bar3
bar0,bar2,bar4
bar0,bar1,bar2,bar3,bar4,bar5 = Z6

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