Determine todos os subgrupos aditivos do grupo aditivo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os subgrupos aditivos de
. O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em particular a classificação dos subgrupos de um grupo cíclico. Para resolver, vamos usar o fato de que, em um grupo cíclico de ordem
, há exatamente um subgrupo de cada ordem
que divide
.
Passo 2
Em um grupo cíclico
, cada divisor
de
determina um subgrupo de ordem
, que é gerado pelo elemento
, onde
em classe de resto módulo
.
Passo 3
Os divisores de
são
. Para cada divisor
calculamos
e o subgrupo gerado por
:
- Para
: . O subgrupo é , de ordem 1. - Para
: . O subgrupo é , de ordem 2. - Para
: . O subgrupo é , de ordem 3. - Para
: . O subgrupo é , de ordem 6.
Passo 4
Concluímos que não existem outros subgrupos além daqueles correspondentes aos divisores de
. Assim, os subgrupos aditivos de
são exatamente os listados abaixo.