Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relaçåo a: (a) x e (b) y.
y=1-x^2;
y=x-1

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum aos gráficos de
y = 1 - x^2
e
y = x - 1
para dois modos de cálculo:
(a) integrando em x, ou seja, como região de tipo I;
(b) integrando em y, como região de tipo II.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção solucionando
1 - x^2 = x - 1
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1)=0
Logo
x=-2ou x=1
Os correspondentes valores de y são
y( -2)=1-(-2)^2=-3, y(1)=1-1^2=0

Passo 3

Integrando em relação a x (tipo I), para cada xin[-2,1] a parte de cima é yrm cima=1-x^2 e a de baixo é yrm baixo=x-1.
A=integralx=-2^1l[(1 - x^2)-(x - 1)r],dx

Passo 4

Integrando em relação a y (tipo II), note que a região vai de y=-3 até y=1, mas o limite lateral muda em y=0, pois para y>0 a reta fica fora da fronteira.
Para -3<= y<=0:
  • a curva parabólica dá o lado esquerdo x=-raiz,1-y,,
  • a reta dá o lado direito x=y+1.
Para 0<= y<=1:
  • os dois lados vêm da parábola x=pmraiz,1-y,.
Assim
A=integraly=-3^0l[(y+1)-l(-raiz,1-y,r)r],dy ;+; integraly=0^1l[raiz,1-y,-l(-raiz,1-y,r)r],dy

Resposta

(a)
A=integral-2^1l[(1 - x^2)-(x - 1)r],dx
(b)
A=integral-3^0l[(y+1)+raiz,1-y,r],dy ;+; integral0^12raiz,1-y,,dy

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