Determine todos os subgrupos do grupo aditivo Z6.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de Z6 (o grupo cíclico de ordem 6 sob adição módulo 6). O conteúdo é teoria de grupos cíclicos: subgrupos de um grupo cíclico de ordem n.

Passo 2

Em teoria de grupos cíclicos sabe-se que todo subgrupo de um grupo cíclico de ordem n é único para cada divisor d de n e tem ordem d. Mais precisamente, existe exatamente um subgrupo de ordem d, gerado por tfracnd.

Passo 3

Como 6 tem os divisores 1,2,3,6, teremos subgrupos de ordem 1,2,3,6. Os geradores padrão em Z6 são:
lang<= 6/1rang<==lang<=6rang<==lang<=0rang<=, lang<= 6/2rang<==lang<=3rang<=, lang<= 6/3rang<==lang<=2rang<=, lang<= 6/6rang<==lang<=1rang<=

Passo 4

Calculando cada um:
lang<=0rang<==0,
lang<=3rang<==0,3,
lang<=2rang<==0,2,4,
lang<=1rang<==0,1,2,3,4,5=Z6

Resposta

Os subgrupos de Z6 são
0, 0,3, 0,2,4, Z6

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