Se
é um grupo e
é seu elemento neutro, qual a tábua desse grupo?
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo de ordem 2 e que
é o elemento neutro da operação (que vamos chamar de “
”). Para montar a tábua de Cayley (tábua de multiplicação), vamos usar os axiomas de grupo: fechamento, identidade e inversos.
Passo 2
Pelo axioma da identidade, para todo
vale
Em particular,
Passo 3
Pelo axioma do inverso, cada elemento tem um inverso em
. Já que
é neutro, seu inverso é ele mesmo. O único elemento restante é
, então
para que o inverso de
seja ele mesmo.
Passo 4
Agora organizamos todos os produtos no formato de tábua: