Determine todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda In)=0, para cada A a seguir:
A=[lll 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambda tais que
detl(A - lambda I3r)=0
onde
A = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
O conteúdo aqui é a construção do polinômio característico de uma matriz e a noção de que, para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I3. Como I3 é a identidade 3times3, temos
A - lambda I3 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 - lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda = -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda

Passo 3

Usamos a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
detl(A - lambda I3r) = (-lambda)cdot(-lambda)cdot(-lambda) = (-lambda)^3 = -,lambda^3

Passo 4

O polinômio característico é
detl(A - lambda I3r) = -,lambda^3
Para achar os valores de lambda, resolvemos
-,lambda^3 = 0 Longrightarrow lambda^3 = 0 Longrightarrow lambda = 0
Note que lambda=0 é raiz de multiplicidade algébrica 3.

Resposta

lambda = 0 (com multiplicidade algébrica 3).

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