Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
e pede: (i) identificar que quádricas ela representa; (ii) esboçar as curvas de nível (interseções com planos
); e (iii) esboçar a própria quádricas. Para isso, vamos completar quadrados em
e passar para a forma canônica.
Passo 2
Começamos reunindo termos e completando o quadrado em
. Primeiro, somamos os termos constantes em
:
ou seja
Agora o termo em
:
Substituindo de volta:
Passo 3
Reorganizando em forma canônica, isolamos as quadráticas de um lado:
Multiplicando por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Na forma
temos um termo positivo (
) e dois negativos (
e
). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo principal é o eixo
(o único correspondente ao termo positivo). O centro do sistema está em
e os vértices ocorrem onde
e
, com
Passo 5
As curvas de nível são as interseções com planos
. Substituindo
em
vemos que
Ou seja
que é sempre uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos
. Para cada
fixo, obtemos uma hipérbole centrada em
, cujos ramos abrem ao longo de
.
Passo 6
Esboçando o hiperbolóide de duas folhas:
– Os vértices estão em .
– Para há pontos na superfície; para
não há solução real.
– À medida que cresce, a hipérbole no plano
alarga-se (constante
cresce).
Logo temos duas “tigelas” simétricas em torno de , estendendo-se para
e
.
– Os vértices estão em
– Para
– À medida que
Logo temos duas “tigelas” simétricas em torno de
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas centrado em
e com eixo principal ao longo de
. As curvas de nível em
são hipérboles dadas por
O esboço mostra duas folhas centradas em
, abrindo-se conforme
aumenta.