Identifique a quádrica, esboce as curvas de nível e a quádrica.
x^2+20-y^2+9 z^2-18 z+1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
x^2+20 - y^2 + 9z^2 - 18z + 1 = 0
e pede: (i) identificar que quádricas ela representa; (ii) esboçar as curvas de nível (interseções com planos z=z0); e (iii) esboçar a própria quádricas. Para isso, vamos completar quadrados em z e passar para a forma canônica.

Passo 2

Começamos reunindo termos e completando o quadrado em z. Primeiro, somamos os termos constantes em x,y,z:
x^2 - y^2 + 9z^2 - 18z + (20+1) = 0
ou seja
x^2 - y^2 + 9z^2 - 18z +21 = 0
Agora o termo em z:
9z^2 - 18z = 9l(z^2 - 2zr) = 9l((z-1)^2 - 1r) = 9(z-1)^2 - 9
Substituindo de volta:
x^2 - y^2 + l[9(z-1)^2 - 9r] +21 = 0 Longrightarrow x^2 - y^2 + 9(z-1)^2 +12 = 0

Passo 3

Reorganizando em forma canônica, isolamos as quadráticas de um lado:
x^2 - y^2 + 9(z-1)^2 = -12
Multiplicando por -1:
-y^2 + x^2 -9(z-1)^2 = 12 Longrightarrow y^2 - x^2 -9(z-1)^2 = 12
Dividindo ambos os lados por 12:
y^212 - x^212 - (z-1)^2tfrac43 = 1

Passo 4

Na forma
y^212 - x^212 - (z-1)^2tfrac43 = 1
temos um termo positivo ( y^2) e dois negativos ( x^2 e (z-1)^2). Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo principal é o eixo y (o único correspondente ao termo positivo). O centro do sistema está em (0,0,1) e os vértices ocorrem onde x=0 e z=1, com
y^212=1 Longrightarrow y=pm 2raiz3

Passo 5

As curvas de nível são as interseções com planos z=z0. Substituindo z=z0 em
x^2 - y^2 + 9(z0-1)^2 +12 = 0
vemos que
x^2 - y^2 = -l[9(z0-1)^2 +12r] = -A, A>0
Ou seja
y^2 - x^2 = A,
que é sempre uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos x,y. Para cada z0 fixo, obtemos uma hipérbole centrada em (0,0), cujos ramos abrem ao longo de y.

Passo 6

Esboçando o hiperbolóide de duas folhas:
– Os vértices estão em l(0,pm 2raiz3,1r).
– Para |y|>=2raiz3 há pontos na superfície; para |y|<2raiz3 não há solução real.
– À medida que |z-1| cresce, a hipérbole no plano z=const alarga-se (constante A cresce).
Logo temos duas “tigelas” simétricas em torno de (0,0,1), estendendo-se para yto+infty e yto-infty.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas centrado em (0,0,1) e com eixo principal ao longo de y. As curvas de nível em z=z0 são hipérboles dadas por
y^2-x^2=9(z0-1)^2+12
O esboço mostra duas folhas centradas em (0,pm2raiz3,1), abrindo-se conforme |y| aumenta.

Exercícios relacionados