Determine todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda In)=0, para cada A a seguir:
A=[ccc 2 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & -2 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os valores de lambda tais que
detl(A-lambda I3r)=0,
sendo
A= 2 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & -2 & 1
O conteúdo é o polinômio característico de uma matriz 3times3 e seus autovalores.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz A-lambda I e escrevemos o determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
A-lambda I = 2-lambda & 2 & 3 1 & 2-lambda & 1 2 & -2 & 1-lambda ,
det(A-lambda I) =(2-lambda)det2-lambda & 1-2 & 1-lambda -2det1 & 12 & 1-lambda +3det1 & 2-lambda2 & -2

Passo 3

Calculamos cada menor e somamos:
det2-lambda & 1-2 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)+2,
det1 & 12 & 1-lambda =(1-lambda)-2,
det1 & 2-lambda2 & -2 =-2 -2(2-lambda)
Substituindo:
det(A-lambda I) =(2-lambda)l[(2-lambda)(1-lambda)+2r] -2l[(1-lambda)-2r] +3l[-2-2(2-lambda)r]
Expandindo e somando os termos, obtemos
det(A-lambda I) =-lambda^3+5lambda^2-2lambda-8

Passo 4

Multiplicando por -1, o polinômio característico fica
lambda^3-5lambda^2+2lambda+8=0
Testando raízes inteiras pelo Teorema do Resto, vemos que lambda=-1 é raiz. Fazendo divisão sintética por lambda+1 obtemos
lambda^2-6lambda+8=0,
cuja solução é lambda=2 ou lambda=4.

Resposta

lambdain-1,2,4.

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