Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços de R^3 :
W=(x, y, z) in R^3: x+2 y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x + 2y + z = 0
é um subespaço de R^3. O conteúdo principal é teoria de espaços vetoriais: para isso precisamos checar três propriedades: (1) se o vetor zero está em W, (2) se W é fechado sob soma, e (3) se W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em x+2y+z=0 temos
0 + 2cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Verificamos a fechamento sob soma. Tomemos (x1,y1,z1)in W e (x2,y2,z2)in W, ou seja,
x1 + 2y1 + z1 = 0 e x2 + 2y2 + z2 = 0
Para o vetor soma (x1+x2,y1+y2,z1+z2) calculamos
(x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1+2y1+z1) + (x2+2y2+z2) = 0 + 0 = 0
Então a soma também satisfaz a equação e está em W.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Tomemos (x,y,z)in W e um escalar lambdainR. Como x+2y+z=0, para lambda(x,y,z) = (lambda x,lambda y,lambda z) temos
lambda x + 2(lambda y) + lambda z = lambda,(x + 2y + z) = lambdacdot 0 = 0
Portanto lambda(x,y,z)in W.

Resposta

Sim, W é um subespaço de R^3, pois contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

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