Determine todos os valores das constantes e para que a função seja contínua para todos os valores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores das constantes A e B de forma que a função f(x) seja contínua para todos os valores de x . Isso envolve trabalhar com funções por partes e garantir que não tenha “saltos” ou descontinuidades quando mudamos de uma parte da função para outra. Vamos precisar usar o conceito de continuidade e resolver algumas equações para encontrar A e B .
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função [f(x)) muda de expressão. Olhando o enunciado:
As mudanças acontecem nos pontos . Para que a função seja contínua nesses pontos, o limite à esquerda tem que ser igual ao limite à direita e também igual ao valor da função no ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em x = -1 .
Quando x se aproxima de -1 pela esquerda ( x <= -1 ), usamos a primeira parte da função:
f(-1^-) = A(-1) - B = -A - B
Quando x se aproxima de -1 pela direita ( -1 < x <= 1 ), usamos a segunda parte da função:
f(-1^+) = 2(-1)^2 + 3A(-1) + B = 2 - 3A + B
Para garantir a continuidade em x = -1 , esses dois valores precisam ser iguais:
-A - B = 2 - 3A + B
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre A e B :
-A - B = 2 - 3A + B
Primeiro, vamos juntar os termos com A e B de um lado:
- A + 3A - B - B = 2
2A - 2B = 2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
A - B = 1 (Equação 1) çã
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em x = 1 .
Quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( -1 < x <= 1 ), usamos a segunda parte da função:
f(1^-) = 2(1)^2 + 3A(1) + B = 2 + 3A + B
Quando x se aproxima de 1 pela direita ( x > 1 ), a função é constante:
f(1^+) = 4
Para garantir a continuidade em x = 1 , esses dois valores precisam ser iguais:
2 + 3A + B = 4
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar outra relação entre A e B :
2 + 3A + B = 4
Subtraindo 2 de ambos os lados:
3A + B = 2 (Equação 2) çã
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
A - B = 1 (Equação 1) 3A + B = 2 (Equação 2) çãçã
Vamos somar as duas equações para eliminar B :
(A - B) + (3A + B) = 1 + 2
4A = 3
A = 34
Passo 8
Agora que temos A = 34 , vamos substituir na Equação 1 para encontrar B :
34 - B = 1
Subtraindo 34 de ambos os lados:
- B = 1 - 34
- B = 14
B = -14
Resposta
Portanto, os valores das constantes que tornam a função contínua para todos os valores de x são: