Determine todos os valores das constantes A e B para que a função seja contínua para todos os valores de x.
f(x)=clA(x+1)^2 & se x <= 0 sen x+B & se 0<x <= pi cos x & se x>pi

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= A(x+1)^2,&x<=0, sin x+B,&0<x<=pi, cos x,&x>pi,
e pede que ela seja contínua em todo eixo real. Como a função já é composta por polinômio, seno e cosseno (todas contínuas em seus domínios), só precisamos impor continuidade nos pontos de troca de definição, ou seja, em x=0 e em x=pi.

Passo 2

Continuidade em x=0:
o valor da função em 0 vem do ramo x<=0, logo
f(0)=A(0+1)^2=A
O limite pela direita em 0 vem do ramo 0<x<=pi, então
limxto0^+f(x)=limxto0^+(sin x+B)=sin0+B=B
Para haver continuidade, igualamos
A=B

Passo 3

Continuidade em x=pi:
o valor à esquerda em pi vem do ramo 0<x<=pi,
limxtopi^-f(x)=sinpi+B=0+B=B
O limite pela direita em pi vem do ramo x>pi,
limxtopi^+f(x)=limxtopi^+cos x=cospi=-1
Igualando para continuidade em pi, temos
B=-1

Passo 4

Como A=B e B=-1, concluímos
A=-1

Resposta

A=-1 e B=-1.

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