Supondo que |f(x)-f(2)| <=(x-2)^2 para todo x. Mostre que f é contínua em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte afirmação: |f(x) - f(2)| <= (x - 2)^2 para todo x. O objetivo aqui é mostrar que a função f é contínua em x = 2. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade, que basicamente diz que o limite da função quando x se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2, ou seja, limx to 2 f(x) = f(2).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite da função. Dizemos que limx to a f(x) = L se, à medida que x se aproxima de a, os valores de f(x) se aproximam de L. No nosso caso, queremos que L = f(2).

Passo 3

Olha só a desigualdade que temos: |f(x) - f(2)| <= (x - 2)^2. Isso nos dá uma ideia de quão perto f(x) está de f(2) à medida que x se aproxima de 2. O lado direito, (x - 2)^2, é sempre positivo e vai diminuindo à medida que x se aproxima de 2.

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com (x - 2)^2 quando x se aproxima de 2. Se substituirmos x = 2, temos (2 - 2)^2 = 0. Além disso, para valores de x próximos de 2, (x - 2)^2 fica muito pequeno, tendendo a 0.

Passo 5

Dado que |f(x) - f(2)| é menor ou igual a algo que está tendendo a 0, podemos dizer que |f(x) - f(2)| também está tendendo a 0. Isso porque, se algo está limitado por uma quantidade que vai para 0, ele próprio não pode ser maior que isso e também vai para 0.

Passo 6

Então, matematicamente, temos:
limx to 2 |f(x) - f(2)| <= limx to 2 (x - 2)^2 = 0
Isso implica que:
limx to 2 |f(x) - f(2)| = 0
E, consequentemente:
limx to 2 f(x) = f(2)

Resposta

Portanto, a função f é contínua em x = 2.

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