Supondo que
para todo
. Mostre que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte afirmação:
para todo
. O objetivo aqui é mostrar que a função
é contínua em
. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade, que basicamente diz que o limite da função quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite da função. Dizemos que
se, à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
. No nosso caso, queremos que
.
Passo 3
Olha só a desigualdade que temos:
. Isso nos dá uma ideia de quão perto
está de
à medida que
se aproxima de 2. O lado direito,
, é sempre positivo e vai diminuindo à medida que
se aproxima de 2.
Passo 4
Vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de 2. Se substituirmos
, temos
. Além disso, para valores de
próximos de 2,
fica muito pequeno, tendendo a 0.
Passo 5
Dado que
é menor ou igual a algo que está tendendo a 0, podemos dizer que
também está tendendo a 0. Isso porque, se algo está limitado por uma quantidade que vai para 0, ele próprio não pode ser maior que isso e também vai para 0.
Passo 6
Então, matematicamente, temos:
Isso implica que:
E, consequentemente:
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.