Determine todos os valores de lambda tais que a matriz Alambda=[ccc1 & 2 & lambda 2 & 3 lambda & 6 lambda-2 1 & 1 & 1] seja singular. Para cada valor de lambda encontrado, determine todas as soluções do sistema linear Alambda X= 03 times 1

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os lambda tais que a matriz
Alambda= 1 & 2 & lambda 2 & 3lambda & 6lambda-2 1 & 1 & 1
seja singular (ou seja, det(Alambda)=0), e em seguida, para cada valor de lambda encontrado, determinar todas as soluções do sistema homogêneo
AlambdaX=03times1
O conteúdo principal aqui é cálculo de determinante para achar as condições de singularidade e, depois, resolução de um sistema linear homogêneo por escalonamento.

Passo 2

Calculamos det(Alambda) por expansão na primeira linha:
det(Alambda) =1cdotdet3lambda & 6lambda-21&1 -2cdotdet2 & 6lambda-21&1 +lambdacdotdet2 & 3lambda1&1
Cada menor vale
det3lambda & 6lambda-21&1 =3lambdacdot1-(6lambda-2)cdot1=2-3lambda,
det2 & 6lambda-21&1 =2cdot1-(6lambda-2)cdot1=4-6lambda,
det2 & 3lambda1&1 =2cdot1-3lambdacdot1=2-3lambda
Logo
det(Alambda) =(2-3lambda)-2(4-6lambda)+lambda(2-3lambda) =-3lambda^2+11lambda-6
Para ser zero,
-3lambda^2+11lambda-6=0 Long<=ftrightarrow 3lambda^2-11lambda+6=0,
com raízes
lambda=11pm76,implies,lambda=3oulambda=tfrac23

Passo 3

Para
e o sistema é
Da terceira equação . Definindo parâmetro , obtemos a solução geral

Passo 4

Para
e o sistema
Da terceira equação . A segunda equação é consequência dessas, logo a solução geral é

Resposta

Os valores de lambda que tornam Alambda singular são
lambda=tfrac23elambda=3
Para lambda=tfrac23, as soluções de AlambdaX=0 são
X=t,(-4,1,3), tinR
Para lambda=3, as soluções de AlambdaX=0 são
X=t,(1,-2,1), tinR

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