Determine todos os valores de lambda in R tais que Alambda=[cc1-lambda & 2 2 & 1-lambda] seja singular. Para cada valor de lambda encontrado, determine todas as soluções do sistema linear Alambda X=02 times 1.

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambdainR que tornam a matriz
Alambda=1-lambda & 2 2 & 1-lambda
singular e, para cada um desses lambda, achar todas as soluções do sistema homogêneo AlambdaX=02times1. Vamos usar a condição de singularidade det(Alambda)=0 e depois encontrar a nulidade de Alambda nesses casos.

Passo 2

Calculamos o determinante de Alambda:
det(Alambda)=(1-lambda)(1-lambda)-2cdot2=(1-lambda)^2-4
Para singularidade exigimos det(Alambda)=0, ou seja,
(1-lambda)^2-4=0 Longrightarrow (1-lambda)^2=4 Longrightarrow 1-lambda=pm2
Daí obtemos
1-lambda=2implieslambda=-1, 1-lambda=-2implieslambda=3

Passo 3

Para , a matriz fica
O sistema equivale à única equação
Logo as soluções são

Passo 4

Para , a matriz é
O sistema
Portanto as soluções são

Resposta

Os valores de lambda que tornam Alambda singular são
lambda=-1elambda=3
Para lambda=-1, todas as soluções de A-1X=0 são
X=t1-1,;tinR
Para lambda=3, todas as soluções de A3X=0 são
X=t11,;tinR

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