Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n tais que A B=B A. Mostre que
det(A^2-B^2)=det(A+B) cdot det(A-B)

Passo 1

O enunciado nos dá matrizes quadradas A e B de ordem n que comutam ( AB=BA) e pede para provar que det(A^2-B^2)=det(A+B)cdotdet(A-B). Vamos usar a fatoração de diferença de quadrados de matrizes e a propriedade multiplicativa do determinante.

Passo 2

Fatoramos A^2-B^2 como (A-B)(A+B). De fato,
(A-B)(A+B) = A(A+B) - B(A+B) = A^2 + AB - BA - B^2 = A^2 - B^2,
onde usamos que AB=BA.

Passo 3

Pela propriedade multiplicativa do determinante, para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem vale
det(XY)=det(X),det(Y)
Logo,
det(A^2-B^2) = detl((A-B)(A+B)r) = det(A-B),det(A+B)

Resposta

det(A^2-B^2) = det(A+B),det(A-B)

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