Sejam
matrizes quadradas de ordem
tais que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá matrizes quadradas
e
de ordem
que comutam (
) e pede para provar que
. Vamos usar a fatoração de diferença de quadrados de matrizes e a propriedade multiplicativa do determinante.
Passo 2
Fatoramos
como
. De fato,
onde usamos que
.
Passo 3
Pela propriedade multiplicativa do determinante, para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem vale
Logo,