Seja A uma matriz quadrada de orden n tal que A^2=5 A. Sabendo que A é invertível, determine o valor de det(A).

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n e satisfaz
A^2=5A,
além de ser invertível. Vamos usar propriedades de determinantes para encontrar det(A).

Passo 2

Aplicando determinante em ambos os lados de A^2=5A, temos
det(A^2) = det(5A)
Pelo teorema do produto e pela propriedade de escalar em matriz de ordem n,
det(A^2) = det(A)^2,
det(5A) = 5^n,det(A)
Logo,
det(A)^2 = 5^n,det(A)

Passo 3

Reescrevendo a igualdade obtida:
det(A)^2 - 5^n,det(A)=0 Longrightarrow det(A)l(det(A)-5^nr)=0

Passo 4

Como A é invertível, sabemos que det(A)neq0. Portanto o fator det(A) não pode ser zero e fica
det(A)-5^n=0 Longrightarrow det(A)=5^n

Resposta

det(A)=5^n.

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