Exercício 1. Verifique em cada um dos casos abaixo se as bases E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) têm a mesma orientação:
f1=2 e1-e2-e3, f2=e1-e3 e f3=e2.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas em R^3:
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) — a base canônica — e
F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) com
overrightarrow f1=2overrightarrow e1-overrightarrow e2-overrightarrow e3, overrightarrow f2=overrightarrow e1-overrightarrow e3, overrightarrow f3=overrightarrow e2
O objetivo é verificar se F tem a mesma orientação que E. Para isso, vamos usar o determinante da matriz de passagens de E para F: se det>0, a orientação é a mesma; se det<0, é oposta.

Passo 2

Expressamos cada overrightarrow fj em coordenadas da base E e montamos a matriz A cujas colunas são essas coordenadas.
A=l[,[overrightarrow f1]E;;[overrightarrow f2]E;;[overrightarrow f3]E,r] = 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) =2cdotdet0 & 1 -1 & 0 -1cdotdet-1 & 1 -1 & 0 +0cdot(cdots)
=2l(0cdot0-1cdot(-1)r) -1l((-1)cdot0-1cdot(-1)r) =2cdot1-1cdot1 =1

Passo 4

Como det(A)=1>0, a matriz de mudança de base preserva a orientação. Logo, as bases E e F têm a mesma orientação.

Resposta

As bases E e F têm a mesma orientação.

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