Determine todos os valores de
para os quais o sistema
pode ser resolvido por ambos os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais o sistema
pode ser resolvido por ambos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, sendo
Informações relevantes dadas:
é uma matriz
com elementos dependentes do parâmetro
.
A pergunta exige encontrar o conjunto de valores de para os quais ambos os métodos iterativos convergem à solução do sistema (isto implica existência de solução única quando apropriado).]
A pergunta exige encontrar o conjunto de valores de
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a matriz
como soma da diagonal e das partes estritamente triangular inferior e superior. Definimos as matrizes
,
e
(respectivamente: diagonal, estritamente inferior e estritamente superior) por
Para a nossa
temos explicitamente:
Explicando:
contém apenas os elementos da diagonal de
;
contém o elemento
na posição
(estritamente abaixo da diagonal);
contém o
na posição
(estritamente acima da diagonal).]
Passo 3
As iterações e as condições de convergência:
- Para Jacobi a matriz de iteração é
- Para Gauss–Seidel a matriz de iteração é
Condição de convergência (intuição e definição): uma iteração linear
converge para a solução (independente do chute inicial adequado) se, e somente se, o raio espectral de
, denotado por
, satisfaz
. O raio espectral
é o máximo dos módulos dos autovalores de
. Intuição: o erro é multiplicado por
a cada iteração; para o erro decrescer precisamos que as potências de
tendam a zero, o que ocorre quando
.
Passo 4
Calculando
.
Primeiro o inverso de é
Primeiro o inverso de
A soma
é
Logo
Portanto
Passo 5
Autovalores e condição para Jacobi.
Para uma matriz
da forma
os autovalores
satisfazem
, logo
. No nosso caso
e
, daí
Assim os autovalores são
. O módulo máximo (raio espectral) é
A condição
dá
Portanto o método de Jacobi converge exatamente quando
.]
Passo 6
Calculando
.
A matriz é triangular inferior:
A matriz
O inverso de uma matriz triangular inferior
é
Aplicando aqui obtemos
Multiplicamos por
:
Logo
Passo 7
Autovalores e condição para Gauss–Seidel.
A matriz é triangular superior, logo seus autovalores são as entradas da diagonal:
e
. Assim o raio espectral é
A matriz
A condição
dá
Portanto Gauss–Seidel converge exatamente quando
.
Passo 8
Conclusão combinando ambos os métodos.
Ambos os métodos convergem quando ambas as condições são satisfeitas simultaneamente. Como ambas deram a mesma condição , a interseção é
.
Ambos os métodos convergem quando ambas as condições são satisfeitas simultaneamente. Como ambas deram a mesma condição
Observações finais úteis para prova:
- Se
então para pelo menos um dos métodos e não há convergência garantida (tipicamente não converge). - No caso
a matriz é singular porque quando , então não existe solução única do sistema (mais um motivo para excluir ). Para a matriz é invertível e os métodos convergem para a solução única. - Resumindo mentalmente: tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel exigem que o parâmetro faça os autovalores das matrizes de iteração terem módulo menor que 1; para este problema isso vira simplesmente
. Força aí — tá na mão!