Determine todos os valores de a \in \mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}-10 & 2 \\\ a & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de a\in\mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, sendo
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-10 & 2 \\[4pt] a & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\mathbf{A} é uma matriz 2\times2 com elementos dependentes do parâmetro \,a.
A pergunta exige encontrar o conjunto de valores de \,a para os quais ambos os métodos iterativos convergem à solução do sistema (isto implica existência de solução única quando apropriado).]

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a matriz \mathbf{A} como soma da diagonal e das partes estritamente triangular inferior e superior. Definimos as matrizes D, L e U (respectivamente: diagonal, estritamente inferior e estritamente superior) por
\mathbf{A}=D+L+U.
Para a nossa \mathbf{A} temos explicitamente:
D=\begin{pmatrix}-10 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] a & 0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicando: D contém apenas os elementos da diagonal de \mathbf{A}; L contém o elemento a na posição (2,1) (estritamente abaixo da diagonal); U contém o 2 na posição (1,2) (estritamente acima da diagonal).]

Passo 3

As iterações e as condições de convergência:
  • Para Jacobi a matriz de iteração é
B_J = -D^{-1}(L+U).
  • Para Gauss–Seidel a matriz de iteração é
B_{GS} = -(D+L)^{-1}U.
Condição de convergência (intuição e definição): uma iteração linear x^{(k+1)}=B x^{(k)}+c converge para a solução (independente do chute inicial adequado) se, e somente se, o raio espectral de B, denotado por \rho(B), satisfaz \rho(B)<1. O raio espectral \rho(B) é o máximo dos módulos dos autovalores de B. Intuição: o erro é multiplicado por B a cada iteração; para o erro decrescer precisamos que as potências de B tendam a zero, o que ocorre quando \rho(B)<1.

Passo 4

Calculando B_J.
Primeiro o inverso de D é
D^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
A soma L+U é
L+U=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] a & 0\end{pmatrix}.
Logo
D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] a & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{2}{10} \\[4pt] \tfrac{a}{5} & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{a}{5} & 0\end{pmatrix}.
Portanto
B_J=-D^{-1}(L+U)=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{5} \\[4pt] -\tfrac{a}{5} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Autovalores e condição para Jacobi.
Para uma matriz 2\times2 da forma \begin{pmatrix}0 & b \\[4pt] c & 0\end{pmatrix} os autovalores \lambda satisfazem \lambda^2-bc=0, logo \lambda=\pm\sqrt{bc}. No nosso caso b=\tfrac{1}{5} e c=-\tfrac{a}{5}, daí
\lambda^2 = b c = \tfrac{1}{5}\cdot\Big(-\tfrac{a}{5}\Big) = -\tfrac{a}{25}.
Assim os autovalores são \lambda=\pm\sqrt{-\tfrac{a}{25}}. O módulo máximo (raio espectral) é
\rho(B_J)=\frac{1}{5}\sqrt{|a|}.
A condição \rho(B_J)<1
\frac{1}{5}\sqrt{|a|}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{|a|}<5 \quad\Longleftrightarrow\quad |a|<25.
Portanto o método de Jacobi converge exatamente quando |a|<25.]

Passo 6

Calculando B_{GS}.
A matriz D+L é triangular inferior:
D+L=\begin{pmatrix}-10 & 0 \\[4pt] a & 5\end{pmatrix}.
O inverso de uma matriz triangular inferior \begin{pmatrix}m_{11}&0\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix} é
\begin{pmatrix}1/m_{11} & 0 \\[4pt] -m_{21}/(m_{11}m_{22}) & 1/m_{22}\end{pmatrix}.
Aplicando aqui obtemos
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & 0 \\[4pt] \tfrac{a}{50} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Multiplicamos por U=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}:
(D+L)^{-1}U= \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{10} & 0 \\[4pt] \tfrac{a}{50} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{2}{10} \\[4pt] 0 & \tfrac{2a}{50}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] 0 & \tfrac{a}{25}\end{pmatrix}.
Logo
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{5} \\[4pt] 0 & -\tfrac{a}{25}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Autovalores e condição para Gauss–Seidel.
A matriz B_{GS} é triangular superior, logo seus autovalores são as entradas da diagonal: \lambda_1=0 e \lambda_2=-\tfrac{a}{25}. Assim o raio espectral é
\rho(B_{GS})=\max\{0,\,|\tfrac{a}{25}|\}=\frac{|a|}{25}.
A condição \rho(B_{GS})<1
\frac{|a|}{25}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |a|<25.
Portanto Gauss–Seidel converge exatamente quando |a|<25.

Passo 8

Conclusão combinando ambos os métodos.
Ambos os métodos convergem quando ambas as condições são satisfeitas simultaneamente. Como ambas deram a mesma condição |a|<25, a interseção é |a|<25.
Observações finais úteis para prova:
  • Se |a|=25 então \rho=1 para pelo menos um dos métodos e não há convergência garantida (tipicamente não converge).
  • No caso a=-25 a matriz \mathbf{A} é singular porque \det(\mathbf{A})=-50-2a=0 quando a=-25, então não existe solução única do sistema (mais um motivo para excluir a=-25). Para |a|<25 a matriz é invertível e os métodos convergem para a solução única.
  • Resumindo mentalmente: tanto Jacobi quanto Gauss–Seidel exigem que o parâmetro faça os autovalores das matrizes de iteração terem módulo menor que 1; para este problema isso vira simplesmente |a|<25. Força aí — tá na mão!

Resposta

a\in\mathbb{R} tais que |a|<25

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