Determine todos os valores de a \in \mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando: \mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\\\ 1 & a & 0 \\\\ 0 & a & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de a\in\mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, onde foi dada a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & a & 0\\[4pt] 0 & a & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & a & 0\\[4pt] 0 & a & 3\end{pmatrix}.
O que se pergunta explicitamente: encontrar os valores de a tais que ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem ao resolver \mathbf{A x}=\mathbf{b}.]
Passo 2
Conceito chave (explicado de forma prática): cada método iterativo gera uma matriz de iteração B. O método converge para a solução do sistema para qualquer vetor inicial se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1. Ou seja:
\text{o método converge} \iff \rho(B)<1,é
onde \rho(B) é o maior valor absoluto dos autovalores de B.
Para aplicar isso precisamos montar as matrizes de iteração:
Para Jacobi, a matriz de iteração é \;B_{\text{J}} = -D^{-1}(L+U)\;, onde D é a diagonal de \mathbf{A}, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior.
Para Gauss–Seidel, a matriz de iteração é \;B_{\text{GS}} = -(D+L)^{-1}U\;.
Antes de calcular, observar uma exigência prática: D deve ser invertível para Jacobi (logo o elemento diagonal correspondente não pode ser zero) e D+L deve ser invertível para Gauss–Seidel. Aqui isso implica que o elemento a na diagonal do meio não pode ser 0 (caso contrário D ou D+L teria diagonal zero e não seriam invertíveis).
Passo 3
Vamos escrever D, L e U explicitamente (pegar direto da matriz dada):
Condição preliminar: para poder aplicar as fórmulas, precisamos de a\neq 0 (para que D e D+L tenham entradas diagonais não nulas). Vou manter essa observação e depois voltamos a ela.]
Passo 4
Montar a matriz de iteração de Jacobi. Primeiro calcule D^{-1}(L+U). L+U é
Observação sobre sinais/valores complexos: se a>0 os dois últimos são reais \pm\tfrac{1}{\sqrt{3a}}; se a<0 eles são puramente imaginários com módulo \tfrac{1}{\sqrt{3|a|}}. Em ambos os casos o módulo dos autovalores não nulos é \tfrac{1}{\sqrt{3|a|}}. Assim o raio espectral de B_{\text{J}} é
Portanto Jacobi converge exatamente quando a\neq 0 e |a|>\tfrac{1}{3}. Note que |a|>\tfrac{1}{3} já implica a\neq 0, então podemos dizer simplesmente |a|>\tfrac{1}{3}.
Passo 7
Agora Gauss–Seidel. Lembrando
B_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U.
Observe que U tem apenas a segunda coluna não nula, e essa coluna é o vetor e_{1}=(1,0,0)^{T} multiplicado por 1 na posição (1,2). Então basta calcular