Determine todos os valores de a \in \mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 1 & 0 & a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de a\in\mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel. A matriz dada é
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & 0 & 1\\[4pt] 0 & a & 0\\[4pt] 1 & 0 & a\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A matriz \mathbf{A} depende do parâmetro real a.
  • O problema pede os valores de a que garantem que tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem (isto é, que “podem resolver” o sistema iterativamente para qualquer \mathbf{b} e para qualquer chute inicial usual).
  • Não foram fornecidas restrições adicionais sobre \mathbf{b} ou chute inicial.]

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • Para um método iterativo linear (Jacobi ou Gauss–Seidel) escrevermos a iteração na forma
\mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{B}\,\mathbf{x}^{(k)} + \mathbf{c},
onde \mathbf{B} é a matriz de iteração. A iteração converge (para a solução do sistema) para qualquer chute inicial se, e somente se, o raio espectral de \mathbf{B} satisfizer \rho(\mathbf{B})<1. O raio espectral \rho(\mathbf{B}) é o maior valor absoluto das autovalores de \mathbf{B}.
  • Para montar as matrizes de iteração precisamos decompor \mathbf{A} em componentes diagonal e estritamente triangular. Escrevemos
\mathbf{A} = \mathbf{D} + \mathbf{L} + \mathbf{U},
onde \mathbf{D} é a diagonal de \mathbf{A}, \mathbf{L} é a parte estritamente inferior e \mathbf{U} a parte estritamente superior.
  • As fórmulas padrão são:
    • Jacobi: \mathbf{B}_{J} = -\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U}).
    • Gauss–Seidel: \mathbf{B}_{GS} = -(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U}.
  • Nota prática: para usar Jacobi precisamos que \mathbf{D} seja invertível (ou seja, a\neq 0). Para Gauss–Seidel precisamos que \mathbf{D}+\mathbf{L} seja invertível. Iremos verificar essas condições naturalmente ao calcular.
Agora vamos aplicar isso à matriz dada.

Passo 3

Calcular \mathbf{D}, \mathbf{L} e \mathbf{U} para a \mathbf{A} dada:
\mathbf{D}=\begin{pmatrix}a&0&0\\[4pt]0&a&0\\[4pt]0&0&a\end{pmatrix},\qquad \mathbf{L}=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{U}=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Agora a matriz de iteração de Jacobi é
\mathbf{B}_{J}=-\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U}) =-\frac{1}{a}\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}.
Chamemos
\mathbf{S}=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix},
de modo que \mathbf{B}_{J}=-(1/a)\,\mathbf{S}.
Para analisar \rho(\mathbf{B}_J) precisamos dos autovalores de \mathbf{S}. Observação simples: \mathbf{S} troca as componentes 1 e 3 e deixa a 2 inalterada (efetivamente age como a permutação entre índices 1 e 3). Podemos verificar vetores próprios facilmente:
  • \mathbf{v}_1=(1,0,1)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1, logo autovalor 1.
  • \mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_2=-\mathbf{v}_2, logo autovalor -1.
  • \mathbf{v}_3=(0,1,0)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_3=0, logo autovalor 0.
Portanto os autovalores de \mathbf{S} são \{1,-1,0\} e \rho(\mathbf{S})=1. Assim
\rho(\mathbf{B}_{J})=\frac{1}{|a|}\rho(\mathbf{S})=\frac{1}{|a|}.
A condição de convergência \rho(\mathbf{B}_J)<1 torna-se
\frac{1}{|a|}<1\quad\Longleftrightarrow\quad |a|>1.
Nota: aqui já fica implícito a\neq 0; a condição |a|>1 garante isso.]

Passo 4

Agora Gauss–Seidel. A matriz de iteração é
\mathbf{B}_{GS}=-(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U}.
Primeiro formamos \mathbf{D}+\mathbf{L}:
\mathbf{D}+\mathbf{L}=\begin{pmatrix}a&0&0\\[4pt]0&a&0\\[4pt]1&0&a\end{pmatrix}.
Vamos calcular (\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1} resolvendo colunas (método direto, passo a passo):
  • Resolver (\mathbf{D}+\mathbf{L})\mathbf{v}=e_1 \mathbf{v}=(1/a,\,0,\,-1/a^2)^T.
  • Resolver (\mathbf{D}+\mathbf{L})\mathbf{v}=e_2 \mathbf{v}=(0,\,1/a,\,0)^T.
  • Resolver (\mathbf{D}+\mathbf{L})\mathbf{v}=e_3 \mathbf{v}=(0,\,0,\,1/a)^T.
Logo
(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 & 0\\[6pt] 0 & \frac{1}{a} & 0\\[6pt] -\frac{1}{a^{2}} & 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}.
Multiplicando por \mathbf{U} (lembre que \mathbf{U} tem apenas a coluna 3 igual a e_1):
(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U}=\begin{pmatrix} 0&0&\frac{1}{a}\\[4pt] 0&0&0\\[4pt] 0&0&-\frac{1}{a^{2}} \end{pmatrix}\quad\text{(atenção: coluna 3 mostrada; outras colunas zero).}çã
Portanto
\mathbf{B}_{GS}= -(\mathbf{D}+\mathbf{L})^{-1}\mathbf{U} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\dfrac{1}{a}\\[8pt] 0 & 0 & 0\\[8pt] 0 & 0 & \dfrac{1}{a^{2}} \end{pmatrix}.
Esta matriz é triangular superior; seus autovalores são os elementos da diagonal: 0,0,\dfrac{1}{a^{2}}. Logo
\rho(\mathbf{B}_{GS})=\left|\frac{1}{a^{2}}\right|=\frac{1}{a^{2}}.
(Aqui usamos |1/a^{2}|=1/a^{2} porque a^{2}\ge 0.) A condição de convergência \rho(\mathbf{B}_{GS})<1
\frac{1}{a^{2}}<1\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}>1\quad\Longleftrightarrow\quad |a|>1.]

Passo 5

Comparando as duas condições obtidas:
  • Jacobi converge se, e somente se, |a|>1.
  • Gauss–Seidel converge se, e somente se, |a|>1.
Portanto ambos convergem exatamente para os mesmos valores de a: |a|>1. Os casos na fronteira |a|=1 não satisfazem \rho<1 (tem \rho=1), e para |a|<1 ambos têm raio espectral maior que 1 e divergem.

Resposta

|a|>1

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