Determine todos os valores de a \in \mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel quando: \mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 1 & 0 & a\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de a\in\mathbb{R} para os quais o sistema \mathbf{A x}=\mathbf{b} pode ser resolvido por ambos os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel. A matriz dada é
O problema pede os valores de a que garantem que tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem (isto é, que “podem resolver” o sistema iterativamente para qualquer \mathbf{b} e para qualquer chute inicial usual).
Não foram fornecidas restrições adicionais sobre \mathbf{b} ou chute inicial.]
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática):
Para um método iterativo linear (Jacobi ou Gauss–Seidel) escrevermos a iteração na forma
onde \mathbf{B} é a matriz de iteração. A iteração converge (para a solução do sistema) para qualquer chute inicial se, e somente se, o raio espectral de \mathbf{B} satisfizer \rho(\mathbf{B})<1. O raio espectral \rho(\mathbf{B}) é o maior valor absoluto das autovalores de \mathbf{B}.
Para montar as matrizes de iteração precisamos decompor \mathbf{A} em componentes diagonal e estritamente triangular. Escrevemos
Nota prática: para usar Jacobi precisamos que \mathbf{D} seja invertível (ou seja, a\neq 0). Para Gauss–Seidel precisamos que \mathbf{D}+\mathbf{L} seja invertível. Iremos verificar essas condições naturalmente ao calcular.
Agora vamos aplicar isso à matriz dada.
Passo 3
Calcular \mathbf{D}, \mathbf{L} e \mathbf{U} para a \mathbf{A} dada:
Para analisar \rho(\mathbf{B}_J) precisamos dos autovalores de \mathbf{S}. Observação simples: \mathbf{S} troca as componentes 1 e 3 e deixa a 2 inalterada (efetivamente age como a permutação entre índices 1 e 3). Podemos verificar vetores próprios facilmente:
\mathbf{v}_1=(1,0,1)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_1=\mathbf{v}_1, logo autovalor 1.
\mathbf{v}_2=(1,0,-1)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_2=-\mathbf{v}_2, logo autovalor -1.
\mathbf{v}_3=(0,1,0)^T satisfaz \mathbf{S}\mathbf{v}_3=0, logo autovalor 0.
Portanto os autovalores de \mathbf{S} são \{1,-1,0\} e \rho(\mathbf{S})=1. Assim
Portanto ambos convergem exatamente para os mesmos valores de a: |a|>1. Os casos na fronteira |a|=1 não satisfazem \rho<1 (tem \rho=1), e para |a|<1 ambos têm raio espectral maior que 1 e divergem.